Feynmann 5a

Чтоб определить поле в точке на расстоянии r от центра, представим сферическую гауссову поверхность радиуса r (r

Заряд внутри нее равен внутреннему объему, умноженному на r, т. е.

Применяя закон Гаусса, получаем величину поля

(5.7)

Вы видите, что при r=R эта формула дает правильный резуль­тат. Электрическое поле пропорционально расстоянию от центра и направлено по радиусу наружу.

Аргументы, которые мы только что приводили для однород­но заряженного шара, можно применить и к заряженной сфере. Опять предполагая радиальность и сферическую симметрию поля, из закона Гаусса немедленно получаем, что поле вне сфе­ры во всем подобно полю точечного заряда, поле же внутри сфе­ры — нуль (если мы проведем гауссову поверхность внутри сфе­ры, то внутри нее зарядов не окажется).

§ 8. Точен ли закон Кулона?

Если мы вглядимся чуть пристальнее в то, как поле внутри сферы оказывается нулевым, то лучше поймем, почему закон Гаусса обязан своим происхождением закону Кулона, т. е. точ­ной зависимости силы от второй степени расстояния. Возьмем произвольную точку Р внутри однородно заряженной сфери­ческой поверхности.

Фиг. 5.9. Во всякой точке Р внутри заряженной сфериче­ской оболочки поле равно нулю.

Представим узкий конус, который начи­нается в точке Р и тянется до поверхности сферы, вырезая там небольшой сферический участок Da_t (фиг. 5.9). В точности сим­метричный конус по другую сторону вершины вырежет на по­верхности площадь Dа₂. Если расстояния от Р до этих двух элементов площади равны r₁ и r₂, то площади находятся в от­ношении

(Вы можете доказать это для любой точки шара с помощью гео­метрии.)

Если поверхность сферы заряжена равномерно, то заряд Dq на каждом элементе поверхности пропорционален его пло­щади

Тогда закон Кулона утверждает, что величины полей, созда­ваемых в Р этими двумя элементами поверхности, находятся в отношении

Поля в точности взаимно уничтожаются. Таким способом можно разбить на пары всю сферу. Значит, все поле в точке Р равно нулю. Но вы видите, что этого не было бы, окажись показатель степени r в законе Кулона не равным в точности двойке.

Справедливость закона Гаусса зависит от закона обратных квадратов Кулона. Если бы закон силы не подчинялся в точности зависимости 1/r², то поле внутри однородно заряженной сфе­ры не было бы в точности равно нулю. Например, если бы поле менялось быстрее (скажем, как 1/r³), то часть сферы, которая ближе к точке Р, создала бы в точке Р более сильное поле, чем дальняя часть. Получилось бы (для положительного поверх­ностного заряда) радиальное поле, направленное к центру. Эти заключения подсказывают нам элегантный путь проверки точности выполнения закона обратных квадратов. Для этого нужно только узнать, в точности ли поле внутри однородно за­ряженной сферы равно нулю.

Наше счастье, что такой способ существует. Ведь обычно трудно измерить физическую величину с высокой точностью. Добиться однопроцентной точности было бы нетрудно, но как быть, если нам понадобится измерить закон Кулона с точностью, скажем, до одной миллиардной? Можно почти ручаться, что из­мерить с такой точностью силу, действующую между двумя за­ряженными телами, не способны даже лучшие приборы. Но если только нужно убедиться в том, что поле внутри сферы меньше некоторого значения, то можно провести довольно точное из­мерение справедливости закона Гаусса и тем самым проверить обратную квадратичную зависимость в законе Кулона. В сущ­ности происходит сравнение закона силы с идеальным законом обратных квадратов. Именно такие сравнения одинаковых, или почти одинаковых, вещей обычно становятся основой самых точ­ных физических измерений.

Как же наблюдать поле внутри заряженной сферы? Один из способов,— это попытаться зарядить тело, дотронувшись им до внутренней части сферического проводника. Вы знаете, что если коснуться металлическим шариком заряженного тела, затем электрометра, то прибор зарядится и стрелка отклонится от нуля (фиг. 5.10, а). Шар собирает на себя заряды, потому что снаружи заряженной сферы имеются электрические поля, за­ставляющие заряды переходить на шарик (или с него). А если вы проделаете тот же опыт, коснувшись шариком внутренности заряженной сферы, то увидите, что к электрометру заряд не подводится. Из такого опыта сразу видно, что внутреннее поле составляет в лучшем случае несколько процентов от внешнего и что закон Гаусса верен, по крайней мере, приближенно.

Кажется, первым, заметившим, что поле внутри заряженной сферы равно нулю, был Бенджамен Франклин. Это показалось ему странным. Когда он сообщил об этом Пристли, тот заподоз­рил, что это связано с законом обратных квадратов, потому что было известно, что сферический слой вещества не создает внут­ри себя поля тяготения. Но Кулон измерил обратную квадра­тичную зависимость только через 18 лет, а закон Гаусса появился на свет и того позже.

Фиг. 5.10. Внутри замкну­той проводящей оболочки электрическое поле равно нулю.

Закон Гаусса был про­верен очень тщательно; для этого электрометр помещали внутрь большой сферы и наблюдали, отклонится ли стрелка, когда сферу зарядят до высокого напряжения. Результат всегда получался отрицательным. Если знать геометрию аппарата и чув­ствительность прибора, можно рассчитать наименьшее поле, которое еще доступно наблю­дению. Из этого числа можно установить верхний предел отклонения показателя степени от двух. Если записать зависи­мость электростатической силы от расстояния в виде r^-2+e, то можно определить верхнюю границу e. Этим способом Максвелл узнал, что e меньше 1/10000. Опыт был повторен и усовершен­ствован в 1936 г. Плимптоном и Лафтоном. Они обнаружили, что кулонов показатель отличается от 2 меньше чем на одну миллиардную.

Это подводит нас к интересному вопросу: как точно выполня­ется закон Кулона в различных обстоятельствах? В только что описанных опытах измерялась зависимость поля от расстояния на расстояниях порядка десятков сантиметров. А что можно сказать о внутриатомных расстояниях, скажем внутри атома водорода, где, как мы считаем, электрон притягивается к ядру по тому же закону обратных квадратов? Конечно, для описа­ния механической части поведения электрона нужна кванто­вая механика, но сила здесь — по-прежнему привычная элект­ростатическая сила. В постановке задачи об атоме водорода известна потенциальная энергия электрона как функция рас­стояния от ядра, и тогда закон Кулона приводит к потенциалу, обратно пропорциональному первой степени расстояния. С ка­кой точностью этот показатель известен на таких малых расстоя­ниях? В итоге очень тщательных измерений относительного расположения уровней энергии водорода, проведенных в 1947 г. Лэмбом и Ризерфордом, нам теперь известно, что и на расстоя­ниях порядка атомных, т. е. порядка ангстрема (10^-8см), пока­затель выдерживается с точностью до одной миллиардной.

Такая точность измерений Лэмба и Ризерфорда оказалась возможной опять благодаря одной физической «случайности». Среди состояний атома водорода есть два таких, у которых энер­гии должны быть почти одинаковыми лишь в том случае, если потенциал меняется точно по закону 1/r. Измерялась очень ма­лая разница в энергиях по частоте w фотонов, испускаемых или поглощаемых при переходах из одного состояния в другое (сог­ласно формуле DE=hw). Расчеты показали, что DЁ заметно отличалась бы от наблюдавшегося значения, если бы показатель степени в законе силы 1/г² отличался бы от 2 только на одну миллиардную.

А верен ли этот закон и на еще меньших расстояниях? В ядер­ной физике измерения показали, что на типично ядерных рас­стояниях (порядка 10^-13 см) существуют электростатические силы и что меняются они все еще как обратные квадраты расстоя­ний. Одно из свидетельств в пользу этого мы разберем в следую­щих главах. Мы уверены, таким образом, что закон Кулона еще выполняется и на расстояниях около 10^-13 см.

А что можно сказать о расстоянии 10^-14 см! Этот интервал исследовали, бомбардируя протоны очень энергичными элект­ронами и следя за тем, как они рассеиваются. Сегодняшние дан­ные указывают на то, что на этих расстояниях закон терпит крах. Электрические силы на расстояниях меньше 10^-14 см оказываются чуть ли не в 10 раз слабее. Этому есть два объясне­ния. То ли закон Кулона на таких маленьких расстояниях не действует, то ли эти тела (электроны и протоны) не являются точечными зарядами. Возможно, что один из них как-то размазан (а может, и оба). Большинство физиков предпочитают думать, что размазан заряд протона. Мы знаем, что протоны сильно взаимодействуют с мезонами. Это означает, что протон время от времени существует в виде нейтрона с p⁺ - мезоном вокруг. Такое расположение в среднем выглядело бы как небольшой шарик положительного заряда. А мы знаем, что нельзя считать поле шара зарядов меняющимся вплоть до самого центра по закону 1/r². Вполне вероятно, что заряд протона размазан, но теория пионов еще очень несовершенна, и не исключено, что и закон Кулона на малых расстояниях отказывает. Вопрос пока остается открытым.

Еще один каверзный вопрос: если закон обратных квадратов верен и на расстояниях порядка 1м и на расстояниях порядка 10^-10 м, то остается ли тем же коэффициент 1/4pe₀? Да,— гласит ответ,— по крайней мере, с точностью до 15 миллионных.

Вернемся теперь к важному вопросу, от которого мы отмах­нулись, когда говорили об опытном подтверждении закона Гаусса.

Вас могло удивить, как в опыте Максвелла и Плимптона— Лафтона удалось достичь такой точности. Ведь вряд ли сфери­ческий проводник мог быть идеальной сферой. Достичь точно­сти в одну миллиардную — это прекрасно; но резонно спро­сить: как могли они столь точно изготовить сферу? Наверняка на сфере были небольшие неправильности, как на всякой реаль­ной сфере, и не могли ли эти нерегулярности создать какое-то поле внутри? Мы хотим показать теперь, что в идеальной сфере вовсе нет необходимости. Оказывается можно доказать, что внут­ри замкнутой проводящей оболочки любой формы поля не бы­вает. Иными словами, опыты зависели от 1/r², но никак не были связаны со сферической формой поверхности (разве что со сфе­рой легче было бы рассчитать поле, если бы закон Кулона ока­зался ошибочным). Итак, мы снова возвращаемся к этому воп­росу. Для решения его нам нужно знать кое-какие свойства проводников электричества.

§ 9. Поля проводника

Проводник электричества — это твердое тело, в котором есть много «свободных» электронов. Электроны могут двигаться в веществе свободно, но не могут покидать поверхности. В ме­талле бывает так много свободных электронов, что всякое элект­рическое поле приводит многие из них в движение. И либо воз­никший таким образом ток электронов должен непрерывно поддерживать свое существование за счет внешних источников энергии, либо движение электронов прекращается, как только они разрядят источники, вызвавшие ноле вначале. В условиях «электростатики» мы не рассматриваем непрерывных источни­ков тока (о них мы будем говорить в магнитостатике), так что электроны движутся только до тех пор, пока не расположатся так, что повсюду внутри проводника создастся нулевое элект­рическое поле. (Как правило, это происходит в малые доли се­кунды.) Если бы осталось внутри хоть какое-нибудь поле, оно бы вынудило двигаться еще какие-то электроны; возможно только такое электростатическое решение, когда поле всюду внутри равно нулю.

Теперь рассмотрим внутренность заряженного проводящего тела. (Мы имеем в виду внутреннюю часть самого металла.) Так как металл — проводник, то внутреннее поле должно быть ну­лем, а значит, и градиент потенциала j равен нулю. Это значит, что j от точки к точке не меняется. Любой проводник — это эквипотенциальная область, и его поверхность — эквипотен­циальна. Раз в проводящем материале электрическое поле пов­сюду равно нулю, то и дивергенция Е тоже равна нулю, и по закону Гаусса плотность заряда во внутренней части провод­ника обращается в нуль.

Но если внутри проводника не может быть зарядов, как же он вообще может быть заряжен? Что мы имеем в виду, когда говорим, что проводник «заряжен»? Где эти заряды? Они нахо­дятся на поверхности проводника, где существуют большие силы, не дающие им покинуть ее, так что они не вполне «сво­бодны». Когда мы будем изучать физику твердого тела, мы уви­дим, что избыточный заряд в любом проводнике находится толь­ко в узком слое у поверхности, толщиной в среднем в один-два атома. Для наших нынешних целей достаточно правильно будет говорить, что любой заряд, попавший на (или в) проводник, собирается на его поверхности; внутри проводника никаких зарядов нет.

Мы замечаем также, что электрическое поле возле самой поверхности проводника должно быть нормально к поверхности. Касательной составляющей у него быть не может. Если бы она появилась, электроны двигались бы вдоль поверхности; нет сил, которые способны помешать этому. Это можно выразить и иначе: мы знаем, что линии электрического поля должны всег­да быть направлены поперек эквипотенциальной поверхности.

Применяя закон Гаусса, мы можем связать напряженность поля у самой поверхности проводника с локальной плотностью заряда на поверхности. За гауссову поверхность мы примем не­большой цилиндрический стакан, наполовину погруженный в проводник, а наполовину выдвинутый из него (фиг. 5.11). Вклад в общий поток Е дает только та часть стакана, которая находится вне проводника. Тогда поле у наружной поверх­ности проводника равно

Вне проводника:

(5.8)

Фиг. 5.11. Электрическое поле у самой внешней поверхности провод­ника пропорционально локальной поверхностной плотности заряда.

1 — гауссова поверхность; 2 — локаль­ная плотность поверхностного заряда.s.

Почему слой зарядов на проводнике создает не такое поле, как слой зарядов сам по себе! Иначе говоря, почему (5.8) вдвое больше (5.3)? Но ведь мы не утверждали, будто в проводнике нет больше никаких «других» зарядов. В действительности для того, чтобы в проводнике Е было равно 0, в нем обязательно должны присутствовать какие-то заряды. В непосредственной близости от точки Р на поверхности заряды действительно соз­дают поле E_лок=s_лок/2e₀ как внутри, так и снаружи поверхно­сти. Но все прочие заряды проводника сообща «устраивают за­говор», чтобы создать в точке Р добавочное поле, равное по величине Е_лок. Суммарное внутреннее поле обращается в нуль, а наружное удваивается: 2E_лок=s/e₀.

§ 10. Поле внутри полости проводника

Вернемся теперь к проблеме пустотелого резервуара — про­водника, имеющего внутри полость. В металле поля нет, а вот есть ли оно в полости? Покажем, что если полость пуста, то поля в ней быть не может, какова бы ни была форма провод­ника или полости (фиг. 5.12). Рассмотрим гауссову поверхность, подобную S на фиг. 5.12, которая окружает собой полость, но остается всюду в веществе проводника. Всюду на поверхности S поле равно нулю, так что потока сквозь S быть не может, и суммарный заряд внутри S должен быть равен нулю. Затем можно вывести из симметрии, что на внутренней поверхности сферической оболочки нет никакого заряда. Но в более общем случае мы только можем сказать, что на внутренней поверх­ности проводника имеется равное количество положительного и отрицательного зарядов. Может быть, окажется, что на од­ной части имеется положительный заряд, а где-то в другом месте — отрицательный (см. фиг. 5.12)? Такие вещи законом Гаусса не исключаются.

Фиг. 5.12. Чему равно поле в пустой полости проводника произвольной формы?

На самом деле, конечно, получается, что равные, но проти­воположные заряды на внутренней поверхности должны были бы соскользнуть навстречу друг другу и уничтожить друг дру­га. Мы можем убедиться в том, что они уничтожат друг друга, применив закон о равенстве нулю циркуляции Е (электроста­тику). Пусть на каких-то частях внутренней поверхности ока­зались заряды. Мы знаем, что еще где-то должно присутствовать равное количество противоположных зарядов. Но любые ли­нии поля Е начинаются на положительных зарядах и кончаются на отрицательных (мы рассматриваем случай, когда свобод­ных зарядов в полости нет). Представим себе теперь контур Г, пересекающий полость вдоль линии силы от какого-то положи­тельного заряда к какому-то отрицательному и возвращаю­щийся к исходной точке по телу проводника (см. фиг. 5.12). Интеграл вдоль такой линии сил в пределах от положительного до отрицательного заряда не был бы равен нулю, а интеграл по пути через металл

равен нулю, так как там Е = 0. Так что мы бы имели

Но криволинейный интеграл от Е по любому замкнутому кон­туру в электростатическом поле всегда равен нулю. Значит, внутри пустой полости не может быть никаких полей, равно как не может быть никаких зарядов на внутренней поверхности.

Заметьте, что мы все время подчеркивали, что полость пуста. Если поместить какие-то заряды в фиксированных местах по­лости (скажем, на изоляторе или на небольшом проводнике, изолированном от основного), то внутри полости могут быть поля. Но тогда она уже не будет «пустой».

Мы показали, что если полость целиком окружена провод­ником, то никакое статическое распределение зарядов снаружи никогда не создаст поля внутри. Это объясняет принцип «защи­ты» электрического оборудования, которое помещается в ме­таллическую коробку. К тем же рассуждениям можно прибег­нуть, если нужно показать, что никакое статическое распреде­ление зарядов внутри замкнутого сплошного проводника не может создать поля вне его. Защита действует в обе стороны! В электростатике (но не в изменяющихся полях) поля по обе стороны сплошной проводящей оболочки полностью не зависят одно от другого.

Теперь вы понимаете, почему удалось проверить закон Ку­лона с такой точностью. Форма полой оболочки не имела зна­чения. Она вовсе не должна была быть круглой, она могла быть и кубом! Если закон Гаусса точен, то поле внутри всегда равно нулю. Вы понимаете теперь, почему вполне безопасно сидеть внутри высоковольтного генератора Ван-де-Граафа в миллион вольт, не боясь, что вас ударит ток, — Вас охраняет сам Гаусс!

Глава 6

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В РАЗНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ

§1.Уравнения электростатиче­ского потенциала

§2.Электрический диполь

§3.3амечания о векторных уравнениях

§4.Дипольный потенциал как градиент

§5.Дипольное приближение для произвольного распределения

§6.Поля заряженных проводников

§7. Метод изображений

§8.Точечный заряд у проводящей плоскости

§9.Точечный заряд у проводящей сферы

§10.Конденеаторы; параллельные пластины

§11.Пробой при высоком напряжении

§12.Ионный микроскоп

Повторить: гл. 23 (вып. 2) «Резонанс»

§ 1. Уравнения электростатического потенциала

В этой главе мы расскажем о поведении электрического поля в тех или иных обстоятель­ствах. Вы познакомитесь с тем, как ведет себя электрическое поле, и с некоторыми математи­ческими методами, используемыми для опреде­ления поля.

Отметим для начала, что математически вся задача состоит в решении двух уравнений — максвелловских уравнений электростатики:

(6.1)

(6.2)

Фактически оба эти уравнения можно объ­единить в одно. Из второго уравнения сразу же следует, что поле может считаться гра­диентом некоего скаляра (см. гл. 3, § 7):

(6.3)

Электрическое поле каждого частного ви­да можно, если нужно, полностью описать с помощью потенциала поля j. Дифферен­циальное уравнение, которому должно удо­влетворять j, получится, если (6.3) подста­вить в (6.1):

(6.4)

Расходимость градиента j—это то же, что С², действующее на j:

(6.5)

так что уравнение (6.4) мы запишем в виде

(6.6)

Оператор С² называется лапласианом, а уравнение (6.6) — уравнением Пуассона. Весь предмет электростатики с мате­матической точки зрения заключается просто в изучении реше­ний одного-единственного уравнения (6.6). Как только из (6.6) вы найдете j, поле Е немедленно получается из (6.3).

Обратимся сперва к особому классу задач, в которых r задано как функция х, у, z. Такая задача почти тривиальна, потому что решать уравнение (6.6) в общем случае мы уже умеем. Мы ведь показали, что если r в каждой точке известно, то потенциал в точке (1) равен

(6.7)

где r(2) — плотность заряда, dV₂ — элемент объема в точке (2), а r₁₂ — расстояние между точками (1) и (2). Решение диф­ференциального уравнения (6.6) свелось к интегрированию по пространству. Решение (6.7) нужно отметить особо, потому что в физике часто встречаются ситуации, приводящие к уравнениям, которые выглядят так:

и (6.7) является прототипом решения любой такой задачи.

Проблема расчета электростатического поля, таким образом, решается совершенно честно, если только положения всех за­рядов известны. Давайте посмотрим на нескольких примерах, как действует эта формула.

§ 2. Электрический диполь

Сначала возьмем два точечных заряда +q и -q, разделенных промежутком d. Проведем ось z через заряды, а начало коор­динат поместим посредине между ними (фиг. 6.1). Тогда по фор­муле (4.24) потенциал системы двух зарядов дается выраже­нием

Мы не собираемся выписывать формулу для электрического поля, но всегда при желании можем это сделать, раз мы знаем потенциал. Так что задача двух зарядов решена.

Существует важный частный случай этой задачи, когда за­ряды расположены близко друг к другу, иными словами, когда нас интересует поле на таких расстояниях от зарядов, что по сравнению с ними промежуток между зарядами кажется незна­чительным. Такую тесную пару зарядов называют диполем. Диполи встречаются очень часто.

Фиг. 6.1. Диполь: два заряда +q и -q, удаленные друг от друга на расстояние d.

«Дипольную» антенну можно часто приближенно рассматривать как два за­ряда, разделенные неболь­шим расстоянием (если нас не интересует поле у са­мой антенны). (Обычно ин­терес представляют антенны с движущимися зарядами; уравнения статики тогда не­применимы, но для некоторых целей они все же представ­ляют весьма сносное приближение.)

Важнее, пожалуй, диполи атомные. Если в каком-то веще­стве есть электрическое поле, то электроны и протоны испыты­вают влияние противоположных сил и смещаются друг относи­тельно друга. Вы помните, что в проводнике некоторые электроны сдвигаются к поверхности, так что внутреннее поле обращает­ся в нуль. В изоляторе электроны не могут сильно разой­тись; им мешает притяжение ядра. И все же они как-то смеща­ются. Так что хотя атом (или молекула) и остается нейтральным, во внешнем электрическом поле все же возникает еле заметное разделение положительных и отрицательных зарядов, и атом становится микроскопическим диполем. Если нам нужно знать поле этих атомных диполей поблизости от предмета обычных размеров, то мы имеем дело с расстояниями, большими по срав­нению с промежутками между зарядами.

В некоторых молекулах из-за самой их формы заряды не­сколько разделены даже в отсутствие внешних полей. В моле­куле воды, например, имеется отрицательный заряд на атоме кислорода и положительный заряд на обоих атомах водорода, которые расположены несимметрично (фиг. 6.2). Хоть заряд всей молекулы равен нулю, все же имеется распределение за­ряда с небольшим преобладанием отрицательного заряда на од­ной стороне и положительного на другой. Это расположение, конечно, не такое простое, как у двух точечных зарядов, но если смотреть на него издалека, оно действует как диполь. Как мы увидим чуть позже, поле на больших расстояниях нечувстви­тельно к мелким деталям расположения.

Фиг. 6.2. Молекула воды Н₂O.

Взглянем теперь на поле двух зарядов противоположных знаков, расстояние d между которыми мало. Если d станет ну­лем, два заряда сойдутся в одном месте, два потенциала сокра­тятся, поле исчезнет. Но если они не совсем слились, то можно получить хорошее приближение к потенциалу, разложив сла­гаемые в (6.8) в ряд по степеням малой величины d (по формуле бинома Ньютона). Оставляя только первые степени d, мы напи­шем

Удобно обозначить

Тогда

и

Разлагая в биномиальный ряд [1 — (zd/r²)]^-1/2 и отбрасывая члены с высшими степенями d, мы получаем

Подобно этому,

Вычитая эти два члена, имеем для потенциала

(6.9)

Потенциал, а значит, и поле, являющееся его производной, пропорциональны qd — произведению заряда на расстояния меж­ду зарядами.

Фиг. 6.3. Векторные обозначения, для диполя.

Это произведение называется диполъным моментом пары зарядов, и мы обозначим его символом р (не путайте с импульсом!):

(6.10)

Уравнение (6.9) можно также записать в виде

(6.11)

так как z/r=cosq, где q — угол между осью диполя и радиус-вектором к точке (х, у, z) (см. фиг. 6.1). Потенциал диполя убы­вает как 1/r² при фиксированном направлении (а у точечного заряда он убывает как 1/r). Электрическое поле Е диполя по­этому убывает как 1/r³.

Мы можем записать нашу формулу и в векторном виде, если определим р., как вектор, абсолютная величина которого равна р, а направление выбрано вдоль оси диполя от q_- к q₊. Тогда

(6.12)

где е_r— единичный радиальный вектор (фиг. 6.3). Кроме того, точку (x, y, z) можно обозначить буквой r. Итак, Дипольный потенциал:

(6.13)

Эта формула справедлива для диполя произвольной ориентации и положения, если r — вектор, направленный от диполя к ин­тересующей нас точке.

Если нас интересует электрическое поле диполя, то нужно взять градиент j. Например, z-компонента поля есть -dj/dz. Для диполя, ориентированного вдоль оси z, мы можем исполь­зовать (6.9):

Фиг. 6.4. Электрическое поле диполя.

или

(6.14)

А х- и y-компоненты равны

Из этих двух компонент можно составить компоненту, пер­пендикулярную к оси z, которая называется поперечной компонентой E_^:

или

(6.15)

Поперечная компонента Е_^ лежит в плоскости ху и направ­лена прямо от оси диполя. Полное поле, конечно, равно

Поле диполя меняется обратно пропорционально кубу рас­стояния от диполя. На оси при 6 =0 оно вдвое сильнее, чем при 9 =90°. При обоих этих углах электрическое поле обладает только z-компонентой. Знаки ее при 2=0 и при z=90° проти­воположны (фиг. 6.4).

§ 3. Замечания о векторныхуравнениях

Здесь, пожалуй, уместно сделать общее замечание, касаю­щееся векторного анализа. Хотя его теоремы и доказаны в общем виде, однако, приступая к расчетам и анализу какой-либо за­дачи, следует с толком выбирать направление осей координат. Вспомните, что когда мы вычисляли потенциал диполя, то ось выбиралась не как попало, а мы направили ее по оси диполя.

Это намного облегчило нашу задачу. Потом уже уравнения были переписаны в векторной форме и сразу перестали зависеть от выбора системы координат. Теперь стало возможным выби­рать какую угодно систему координат, зная, что формула от­ныне всегда будет справедлива. Вообще нет смысла вводить произвольную систему координат, где оси направлены под ка­ким-то сложным углом, если можно в данной задаче выбрать систему получше, а уже в самом конце выразить результат в виде векторного уравнения. Так что старайтесь использовать то преимущество векторных уравнений, что они не зависят ни от какой системы координат.

С другой стороны, если вы хотите подсчитать дивергенцию какого-то вектора, то вместо того, чтобы смотреть на у·Е и вспоминать, что это такое, лучше расписать это в виде

Если вы затем вычислите по отдельности х-, у- и z-компоненты электрического поля и продифференцируете, то получите иско­мую дивергенцию. Часто при этом испытывают такое чувство, как будто произошло что-то некрасивое — словно, расписав вектор покомпонентно, потерпели неудачу; все время кажется, будто все действия надо проделывать только с векторными опе­раторами С. Но часто от них нет никакого проку. Когда вы впер­вые сталкиваетесь с какой-то новой задачей, то, как правило, полезно расписать все в компонентах, чтобы удостовериться, что вы правильно представляете себе, что происходит. Нет ничего некрасивого в том, что в уравнения подставляются числа, и нет ничего неприличного в том, чтобы подставлять производные на место причудливых символов. Наоборот, в этом-то и проявляется ваша мудрость. Конечно, в специальном журнале статья будет выглядеть гораздо приятнее (да и понят­нее), если все записано в векторном виде. Но там надо эконо­мить еще и место.

§ 4. Диполъный потенциал как градиент

Мы хотели бы теперь отметить любопытное свойство формулы диполя (6.13). Потенциал можно записать также в виде

(6.16)

Действительно, вычислив градиент 1/r, вы получите

и (6.16) совпадет с (6.13).

Фиг. 6.5. Потенциал в точке Р от точечного заряда, поднятого на Dz над началом координат, равен потенциалу в точке Р' (на Dz ниже Р) того же заряда, но помещенного вначале координат.

Как мы догадались об этом? Мы просто вспомнили, что e_r/r² уже появлялось в формуле для поля точечного заряда и что поле — это градиент потенциала, изменяющегося как 1/r.

Существует и физическая причина того, что дипольный по­тенциал может быть записан в форме (6.16). Пусть в начало коор­динат помещен точечный заряд q. Потенциал в точке Р(х, у, z) равен

(Множитель 1/4pe₀ опустим, а в конце мы его можем снова вста­вить.) Если заряд +q мы сдвинем на расстояние Dz, то потен­циал в точке Р чуть изменится, скажем на Dj₊. На сколько же именно? Как раз на столько, на сколько изменился бы потен­циал, если б заряд оставили в покое, а Р сместили на столько же вниз (фиг. 6.5). Иначе говоря,

где Dz означает то же, что и d/2. Беря j₀=q/r, мы получаем для потенциала положительного заряда

(6.17)

Повторяя те же рассуждения с потенциалом отрицательного заряда, можно написать

(6.18)

А общий потенциал—просто сумма (6.17) и (6.18):

(6.19)

При других расположениях диполя смещение положи­тельного заряда можно изобразить вектором Dг₊, а уравне­ние (6.17) представить в виде

где Dr впоследствии надо будет заменить на d/2. Завершая доказательство так, как это было сделано выше, мы приве­дем уравнение (6.19) к виду

Это то же уравнение, что и (6.16). Надо только заменить qd на р и вставить потерянный по дороге множитель 1/4pe₀. Взглянув на это уравнение по-иному, видим, что дипольный потенциал (6.13) можно толковать как

(6.20)

где Ф₀=1/4pe₀r — потенциал единичного точечного заряда.

Хотя потенциал данного распределения зарядов всегда мо­жет быть найден при помощи интегрирования, иногда можно сберечь время, применив какой-нибудь хитроумный прием. Например, на помощь часто приходит принцип наложения. Если нам дано распределение зарядов, которое можно соста­вить из двух распределений с уже известными потенциалами, то искомый потенциал легко получить, просто сложив уже из­вестные между собой. Наш вывод формулы (6.20) — один из примеров применения этого приема.

А вот и другой. Пусть имеется сферическая поверхность, на которой поверхностный заряд распределен пропорционально косинусу полярного угла. Интегрировать такое распределение— задача, откровенно говоря, не из приятных. Но как ни странно, на помощь приходит принцип наложения. Представьте себе шар с однородной объемной плотностью положительных зарядов и другой шар с такой же однородной объемной плотностью заря­дов, но противоположного знака. Первоначально они вложены друг в друга, образуя нейтральный, т. е. незаряженный шар. Если затем положительный шар чуть сместить по отношению к отрицательному, то нутро незаряженного шара так и останется незаряженным, но на одной стороне возникнет небольшой поло­жительный заряд, а на противоположной — такой же отрица­тельный (фиг. 6.6). И если относительное смещение двух шаров мало, то эти заряды эквивалентны существованию поверхност­ного заряда (на сферической поверхности) с плотностью, про­порциональной косинусу полярного угла.

Когда же нам понадобится потенциал этого распределения, то брать интегралы не нужно. Мы знаем, что потенциал каждого заряженного шара —- в точках вне его— совпадает с потенциа­лом точечного заряда. А два смещенных шара — все равно, что два точечных заряда; значит, искомый потенциал и есть как раз потенциал диполя.

Фиг. 6,6. Две равномерно заряженные сферы, вложенные друг вдруга и слегка смещенные, эквивалентны неоднородному распределению

поверхностного заряда.

Таким путем можно показать, что распределение зарядов на сфере радиуса а с поверхностной плотностью

создает снаружи сферы такое же поле, как и диполь с моментом

Можно также показать, что внутри сферы поле постоянно и равно

Если q — угол с положительной осью z, то электрическое поле внутри сферы направлено по отрицательной оси z. Рассмотрен­ный нами пример отнюдь не досужая выдумка составителя за­дач; он нам встретится еще в теории диэлектриков.

§ 5. Дипольное приближение для произвольного распределения

Столь же интересно и не менее важно поле диполя, возни­кающее при других обстоятельствах. Пусть у нас есть тело со сложным распределением заряда, скажем, как у молекулы воды (см. фиг. 6.2), а нас интересует только поле вдали от него. Мы покажем, что можно получить сравнительно простое выраже­ние для полей, пригодное для расстояний, много больших, чем размеры тела.

Мы можем смотреть на это тело, как на скопление точеч­ных зарядов q_i в некоторой ограниченной области (фиг. 6.7). (Позже, если понадобится, мы q_i заменим на pdV.) Пускай заряд q_i удален от начала координат, выбранного где-то внутри груп­пы зарядов, на расстояние d_i . Чему равен потенциал в точке Р, расположенной где-то на отлете, на расстоянии R, много боль­шем, чем самое большое из d_i,? Потенциал всего нашего скопле­ния выражается формулой

(6.21)

где r_i — расстояние от Р до заряда q_i (длина вектора R-d_i). Если расстояние от зарядов до Р (до точки наблюдения) чрез­вычайно велико, то каждое из r_i можно принять за R. Каждый член в сумме станет равным q_i/R, и 1IR можно будет вынести из-под знака суммы. Получится простой результат

(6.22)

где Q — суммарный заряд тела. Таким образом, мы убеди­лись, что из точек, достаточно удаленных от скопления зарядов, оно кажется просто точечным зарядом. Этот результат в общем не очень удивителен.

Но что, если положительных и отрицательных зарядов в группе окажется поровну? Суммарный заряд Q тогда будет равен нулю. Это не такой уж редкий случай; мы знаем, что большинство тел нейтрально. Нейтральна молекула воды, но заряды в ней размещаются отнюдь не в одной точке, так что, приблизившись вплотную, мы должны будем заметить какие-то признаки того, что заряды разделены. Для потенциала произвольного рас­пределения зарядов в нейтральном теле мы нуждаемся в при­ближении, лучшем, чем даваемое формулой (6.22). Уравнение (6.21) по-прежнему годится, но полагать r_i=R больше нельзя. Для r_i нужно выражение поточнее. В хорошем приближении r_i можно считать отличающимся от R (если точка Р сильно уда­лена) на проекцию вектора d на вектор R (см. фиг. 6.7, но вы должны только представлять себе, что Р намного дальше, чем показано). Иными словами, если e_r — единичный вектор в нап­равлении R, то за следующее приближение к r_i нужно принять

(6.23)

Но нам ведь нужно не r_i, а 1/r_i; оно в нашем приближении (с учетом d_i<<R) равно

(6.24)

Подставив это в (6.21), мы увидим, что потенциал равен

(6.25)

Многоточие указывает члены высшего порядка по d/R, ко­торыми мы пренебрегли. Как и те члены, которые мы выписали, это последующие члены разложения 1/r_i в ряд Тэйлора в ок­рестности 1/R по степеням d_i/R,

Первый член в (6.25) мы уже получили; в нейтральных телах он пропадает. Второй член, как и у диполя, зависит от 1/R². Действительно, если мы определим

(6.26)

как величину, описывающую распределения зарядов, то вто­рой член потенциала (6.25) обратится в

(6.27)

т. е. как раз в дипольный потенциал. Величина р называется дипольным моментом распределения. Это обобщение нашего прежнего определения; оно сводится к нему в частном случае точечных зарядов.

В итоге мы выяснили, что достаточно далеко от любого набора зарядов потенциал оказывается дипольным, лишь бы этот набор был в целом нейтральным. Он убывает, как 1/R², и меняется, как cos 0, а величина его зависит от дипольного момента распределения зарядов. Именно по этой причине поля диполей и важны; сами же по себе пары точечных зарядов встре­чаются крайне редко.

У молекулы воды, например, дипольный момент довольно велик. Электрическое поле, создаваемое этим моментом, ответ­ственно за некоторые важные свойства воды. А у многих моле­кул, скажем у СO₂, дипольный момент исчезает благодаря их симметрии. Для таких молекул разложение нужно проводить еще точнее, до следующих членов потенциала, убывающих как 1/R³ и называемых квадрупольным потенциалом. Эти случаи мы рассмотрим позже.

§ 6. Поля заряженных проводников

Мы покончим на этом с примерами таких физических задач, в которых распределение зарядов известно с самого начала. Такие задачи решаются без особых затруднений, в худшем слу­чае требуя нескольких интегрирований. Теперь мы обратимся

к совершенно новому типу задач — определению полей вблизи заряженных проводников.

Представим себе, что какие-то заряды, произвольные по ве­личине Q, помещены на проводнике. Теперь уже мы не можем точно сказать, где они расположатся. Они как-то растекутся по поверхности. Как же узнать, как они на ней распределятся? Распределиться они должны так, чтобы потенциал вдоль всей поверхности был одним и тем же. Если бы поверхность не была эквипотенциальной, то внутри проводника существовало бы электрическое поле и заряды вынуждены были бы двигаться до тех пор, пока поле не исчезло бы. Общую задачу такого рода можно было бы решать так. Предположим, что распределение зарядов такое-то, и рассчитаем потенциал. Если он оказывается на поверхности повсюду одинаковым, то задача решена. Если же поверхность не эквипотенциальна, то значит, мы сделали непра­вильное предположение о распределении зарядов; сделаем но­вое предположение и постараемся, чтобы оно было удачнее! Так может продолжаться без конца, разве что вы здорово набье­те руку на таких пробах.

Вопрос о том, как догадываться о распределениях, матема­тически труден. Конечно, у природы есть время решать его; заряды притягиваются и отталкиваются до тех пор, пока не уравновесятся взаимно. А когда мы пробуем решить задачу, то каждая проба занимает так много времени, что этот метод оказывается очень громоздким. Когда имеется произвольный сложный набор проводников и зарядов, задача весьма услож­няется, и в общем случае не может быть решена без специально разработанных численных методов. Такие численные расчеты в наши дни выполняются на счетных машинах, которые могут все посчитать за нас, если мы им объясним, как это сделать.

С другой стороны, имеется множество мелких практических случаев, в которых, к нашему удовольствию, удается добиться решения каким-то прямым методом, не составляя программы для машины. На наше счастье, во многих случаях с помощью того или иного фокуса можно выжать ответ из природы.

Первый такой фокус, который мы хотим вам показать, со­стоит в использовании уже известных решений задач с фиксированным расположением зарядов.

§ 7. Метод изображений

Мы определили поле двух точечных зарядов. На фиг. 6.8 показаны некоторые линии поля и эквипотенциальные поверх­ности, полученные из расчетов, приведенных в гл. 5. Рассмот­рим теперь эквипотенциальную поверхность А. Предположим, что мы изогнули тонкий лист металла так, что он в точности

Фиг. 6.8. Линии поля и эквипо­тенциальные поверхности двух точечных зарядов.

накладывается на эту поверх­ность. Если его действитель­но наложить и установить на нем правильное значение потенциала, то никто не будет даже знать, что он там лежит, потому что ничего от его появле­ния не изменилось.

А теперь взгляните внимательнее! На самом-то деле мы ре­шили задачу уже с новым условием: поверхность изогнутого проводника с заданным потенциалом помещена близ точечного заряда. Если наш металлический лист, уложенный на экви­потенциальную поверхность, замыкается сам на себя (или тянется очень далеко), то получается картина, рассмотренная в Гл. 5, § 10, когда пространство делится на две области: одна внутри, другая снаружи замкнутой проводящей поверхности. Там мы пришли к выводу, что поля в этих двух областях совершенно не зависят друг от друга. Так что независимо от того, каково поле внутри замкнутого проводника, сна­ружи поле всегда одно и то же. Можно даже заполнить всю сердцевину проводника проводящим материалом. Вы­ходит, нам удалось найти поле при конфигурации проводников и зарядов, изображенной на фиг. 6.9. В пространстве вне проводника поле как раз такое, как у двух точечных зарядов (см. фиг. 6.8). Внутри проводника оно нуль. И, кроме того, электрическое поле, как и следовало ожидать, у самой поверх­ности проводника нормально к ней.

Итак, мы можем рассчитать поля на фиг. 6.9, вычисляя поле, созданное зарядом q и воображаемым точечным зарядом —q, помещенным в подходящем месте. А точечный заряд, ко­торый мы представили себе существующим за проводящей по­верхностью, так и называется зарядом-изображением.

В книгах можно найти длинные перечни решений задачи электростатики для гиперболических поверхностей и других сложных штук. Вас могло бы удивить, как это удалось рассчи­тать поля близ поверхностей столь ужасной формы. Но они были рассчитаны задом наперед! Кто-то решил простую задачу

Фиг. 6.9. Поле вне проводника, изогнутого вдоль эквипотенци­альной поверхности А на пре­дыдущем рисунке.

с фиксированными зарядами. А затем обнаружил, что появля­ются некоторые эквипотенциальные поверхности новой формы, ну и написал работу, в которой указал, что поля снаружи про­водника такой формы могут быть изображены так-то и так-то.

§ 8. Точечный заряд у проводящей плоскости

В качестве простейшего применения этого метода используем плоскую эквипотенциальную поверхность В (см. фиг. 6.8). Она поможет нам решить задачу о заряде вблизи проводящей плоскости. Для этого зачеркнем просто левую часть фигуры. Линии поля нашего решения показаны на фиг. 6.10. Заметьте, что плоскость обладает нулевым потенциалом, потому что она находится как раз на полпути между зарядами. Мы решили за­дачу о положительном заряде вблизи заземленной проводящей плоскости.

Так мы узнали суммарное поле, но что можно сказать о том, каковы те реальные заряды, которые создали его? Кроме нашего положительного точечного заряда, ими являются какие-то отри­цательные заряды, наведенные на проводящей плоскости и при­тянутые положительным зарядом (с каких-то далеких расстоя­ний). Но теперь пусть вам захотелось узнать (то ли для техни­ческих целей, то ли просто из любопытства), как распределены эти отрицательные заряды по поверхности. Поверхностную плотность заряда вы сможете узнать, использовав результат, полученный в гл. 5, § 6 при помощи теоремы Гаусса. Нормаль­ная составляющая электрического поля возле самого провод­ника равна плотности поверхностного заряда а, деленной на e₀. Мы можем узнать плотность заряда в каждой точке поверхности, отправляясь назад от нормальной составляющей электриче­ского поля на поверхности. А ее мы знаем, потому что вообще нам известно поле в любой точке.

Фиг. 6.10. Поле заряда, помещенного близ плоской проводящей поверхности, найденное методом изображений.

Рассмотрим точку поверхности на расстоянии r от той точки, которая расположена прямо против положительного заряда (см. фиг. 6.10). Электрическое поле в этой точке нор­мально к поверхности и направлено внутрь нее. Составляющая поля положительного точечного заряда, нормальная к поверх­ности, равна

(6.28)

К ней мы должны добавить электрическое поле, созданное отри­цательным зеркальным зарядом. Это удвоит нормальную со­ставляющую (и уничтожит все прочие), так что плотность за­ряда 0 в произвольной точке поверхности будет равна

(6.29)

Проинтегрировав а по всей поверхности, мы сможем прове­рить наши расчеты. Мы должны получить весь наведенный заряд, т. е. -q.

Еще один вопрос: действует ли на точечный заряд сила? Да, потому что наведенные на плоскости отрицательные заряды должны его притягивать. А раз мы знаем, каковы эти поверх­ностные заряды [по формуле (6.29)], то можем с помощью интег­рирования подсчитать силу, действующую на наш положитель­ный заряд. Но мы ведь знаем также, что сила, действующая на него, в точности такая, какой она была бы, если бы вместо плоскости был один только отрицательный зеркальный заряд, потому что поля поблизости от них в обоих случаях одинаковы. Точечный заряд тем самым испытывает силу притяжения к пло­скости, равную

(6.30)

Мы определили эту силу очень легко, без интегрирования по отрицательным зарядам.

§ 9. Точечный заряд у проводящей сферы

А какие еще поверхности, кроме плоскости, имеют простое решение? Самая простая из них — сфера. Попробуем определить поля вокруг металлической сферы с точечным зарядом q вблизи нее (фиг. 6.11). Придется поискать простую физическую задачу, для которой сфера есть эквипотенциальная поверхность. Если мы просмотрим те задачи, которые уже решены, то увидим, что у поля двух неравных точечных зарядов одна из эквипотен­циальных поверхностей как раз и есть сфера. Отметим себе это! Если мы как следует подберем положение заряда-изображения и нужную его величину, может быть, тогда мы и сможем подо­гнать эквипотенциальную поверхность к нашей сфере.

Фиг. 6.11. Точечный заряд q наводит на за­земленной проводящей сфере заряды, которые создают поле, такое же, как у заряда-изображе­ния, помещенного в ука­занной точке.

Это и впрямь может быть сделано, если действовать по следующему рецепту.

Положим, что вы хотите, чтобы эквипотенциальная поверх­ность была сферой радиуса а с центром, отстоящим от заряда q на расстояние b. Поместите изображение заряда величины q'=-q(a/b) на радиусе, проходящем через заряд на расстоянии a²/b от центра. Потенциал сферы пусть будет нуль.

Математически причина состоит в том, что сфера есть гео­метрическое место точек, отношение расстояний которых от двух данных точек постоянно. Как следует из фиг. 6.11, потен­циал в точке Р от зарядов q и q' пропорционален сумме

и будет равен нулю во всех точках, для которых

Если мы помещаем q' на расстоянии а²!b от центра, то отноше­ние r₂/r₁ равно постоянной величине a/b. Тогда если

(6.31)

то сфера станет эквипотенциалью. Потенциал ее на самом деле будет равен нулю.

А что, если нам понадобится сфера с ненулевым потенциалом? Ведь он равен нулю только тогда, когда ее суммарный заряд слу­чайно окажется равным q'! Конечно, если ее заземлить, то наведенные на ней заряды окажутся в точности такими, как на­до. Ну, а если она заизолирована и мы не снабдили ее никаким зарядом? Или снабдили ее зарядом Q№q'? Или она находится под напряжением, не равным нулю? Такие вопросы разрешаются сходу. Всегда ведь можно добавить в центр сферы точечный заряд q". По принципу наложения сфера всегда останется эк­випотенциальной, а изменится только величина потенциала. Если у нас, скажем, есть проводящая сфера, предваритель­но разряженная и изолированная от всего, и мы поднесли к ней положительный заряд q, то суммарный заряд сферы останется равным нулю. Решение можно найти, взяв тот же, что и прежде, заряд-изображение q' и вдобавок к нему заряд в центре сферы, такой, что

(6.32)

Поля повсюду вне сферы будут получаться наложением полей от q, q' и q". Задача решена.

Теперь ясно, что между сферой и точечным зарядом q долж­на существовать сила притяжения. Она не пропадает, даже если сфера нейтральна, на ней нет никакого заряда. Откуда же берется притяжение? Когда вы подносите к проводящей сфере положительный заряд, то он притягивает отрицательные за­ряды на ближний конец сферы, положительные же оставляет на дальнем. А притяжение отрицательными зарядами пере­вешивает отталкивание положительными; в итоге остается при­тяжение. Силу его можно прикинуть, подсчитав силу, действую­щую на q в поле, созданном q' и q". Суммарная сила равна силе притяжения между зарядами q и q' = -(a/b)q на расстоянии b-(а²/b) плюс сила отталкивания q и заряда q" = +(a/b)q на расстоянии b.

Если вы в детстве любили разглядывать журнал, на облож­ке которого был показан мальчик, разглядывающий журнал, на обложке которого показан мальчик, разглядывающий жур­нал, на обложке которого..., то вас заинтересует и следующая задача. Две одинаковые сферы, одна с зарядом +Q, а другая с зарядом -Q, расположены на некотором расстоянии друг от друга. Какова сила притяжения между ними? Задача решает­ся при помощи бесконечного количества изображений. Первое приближает каждую сферу зарядом в ее центре. Эти заряды создают свои изображения на другой сфере. У изображений в свою очередь есть свои изображения и т. д., и т. д., и т. д. Решение здесь — все равно что картинка на обложке. Схо­дится оно очень быстро.

§ 10. Конденсаторы; параллельные пластины

Теперь обратимся к другому роду задач, связанных с про­водниками. Рассмотрим две широкие металлические пластины, параллельные между собой и разделенные узким (по сравнению с их размерами) промежутком. Предположим, что пластины наэлектризованы равными, но противоположными зарядами.

Фиг. 6.12. Плоский конденсатор.

Заряды одной пластины будут притягивать к себе заряды дру­гой и потом равномерно распределятся на внутренней поверх­ности пластин. Пусть поверхностная плотность зарядов на пластинах будет +s и -s соответственно (фиг. 6.12). Из гл. 5 мы знаем, что поле между пластинами равно s/e₀, а поле снаружи пластин равно нулю. Пластины обладают неравными потен­циалами j₁ и j₂. Их разности V удобно дать особое имя, ее часто называют «напряжением»

[некоторые обозначают буквой V потенциал, мы же его обозна­чили буквой j].

Разность потенциалов V — это работа (на единицу заряда), требуемая для переноса небольшого заряда с одной пластины на другую, так что

(6.33)

где ±Q — суммарный заряд каждой пластины, А — ее пло­щадь, d — щель между пластинами.

Мы видим, что напряжение пропорционально заряду. Эта пропорциональность между V и Q соблюдается для любых двух проводников в пространстве, если на одном из них имеется плюс-заряд, а на другом равный ему минус-заряд. Разность потенциалов между ними, т. е. напряжение, оказывается про­порциональной заряду. (Мы предполагаем, что вокруг нет ни­каких других зарядов.)

Почему возникает эта пропорциональность? Просто из-за принципа наложения. Пусть нам известно решение для одной совокупности зарядов, а потом мы наложим на него другое такое же решение. Заряды удвоятся, поля удвоятся, работа пе­реноса заряда от точки к точке тоже удвоится. По этой причине разность потенциалов двух точек пропорциональна заряду. В частности, разность потенциалов двух проводников пропор­циональна их зарядам. Эту пропорциональность когда-то решили записывать иначе. И стали писать

Q=CV,

где С — постоянное число. Этот коэффициент пропорциональ­ности назвали емкостью, а систему двух проводников — конденсатором. Для нашего конденсатора из параллельных пластин

(параллельные обкладки). (6.34)

Эта формула неточна, потому что поле в противоречии с на­шим предположением на самом деле не всюду однородно. Поле не кончается сразу на ребрах пластин, а похоже скорее на то, что изображено на фиг. 6.13. Суммарный заряд тоже равен не sА, как мы предположили; существует маленькая поправ­ка на краевой эффект. Чтобы знать, какова она, надо точнее рас­считать поле и посмотреть, что происходит на краях. Это очень сложная математическая задача, однако ее можно решить при помощи техники, о которой мы, впрочем, говорить здесь не бу­дем. Расчеты показывают, что плотность зарядов возле края пластин слегка возрастает. Это значит, что емкость пластин чуть выше, чем мы думали. [Хорошее приближение для емкости можно получить, если в уравнении (6.34) принять за А площадь, которую имели бы пластины, если б их расширили на ³/₈ расстояния между ними.]

Мы говорили пока только о емкости двух проводников. Иногда люди говорят о емкости предмета самого по себе. Так, говорят, что емкость сферы радиусом а есть 4pe₀а. При этом подразумевается, что вторым полюсом является сфера беско­нечного радиуса, т. е. что если на сфере помещен заряд

+ Q, то противоположным зарядом -Q обладает бесконечно боль­шая сфера. Можно говорить также о емкостях и тогда, когда проводников три или больше трех, но обсуждение этого во­проса мы отложим до лучших времен.

Пусть нам необходимо иметь конденсатор очень большой емкости. Большую емкость можно получить, взяв очень большую

площадь и очень малый промежуток. Можно про­ложить алюминиевые лен­ты провощенной бумагой и смотать их в трубку. (Поместив ее в пластмас­совую упаковку, мы полу­чим типичный радиоконденсатор.)

Фиг. 6.13. Электрическое поле у краев двух параллельных пластин.

Зачем они нужны? Они пригодны для того, чтобы накапливать заряд. Если бы мы захотели, например, собрать заряд на каком-то шаре, то его потенциал быстро подско­чил бы, а вскоре так поднялся бы, что заряды стали бы стекать в воздух, и от шара посыпались бы искры. Но если тот же заряд поместить внутрь конденсатора большой емкости, то напряжение близ конденсатора будет очень малым.

Во многих электронных схемах полезно иметь устройство, способное поглощать или выделять большие количества зарядов, заметно не изменяя потенциал. Вот конденсатор (или «емкость»)— как раз такое устройство. Он имеет множество применений и в электронных приборах и в счетных машинах. Там он исполь­зуется для получения определенного изменения в напряжении в ответ на то или иное изменение заряда. С подобным приме­нением мы уже познакомились в вып. 2, гл. 23, когда описыва­ли свойства резонансных контуров.

Из определения С мы получаем, что единица емкости есть кулон/вольт. Эту единицу называют также фарадой (ф). А вгля­девшись в уравнение (6.34), мы видим, что e₀ можно выразить в фарадах/метр (ф/м); эта единица обычно и применяется.

Типичные емкости конденсаторов лежат в интервале от 1 мик­ромикрофарады (мкмкф) [или, что тоже самое, 1 пикофарады (1 пф)] до миллифарад. Небольшие конденсаторы на несколько пикофарад используются в высокочастотных контурах наст­ройки, а емкости порядка сотен или тысяч микрофарад мы на­ходим в силовых фильтрах. Пара обкладок с площадью 1 см² с промежутком 1 мм имеет емкость примерно 1 пф.

§ 11. Пробой при высоком напряжении

Сейчас мы качественным образом рассмотрим некоторые ха­рактеристики полей вокруг проводников. Зарядим электри­чеством проводник, но на сей раз не сферический, а такой, у ко­торого есть острие или ребро (например, в форме, изображен­ной на фиг. 6.14). Тогда поле в этом месте окажется намного сильнее, чем в других местах. Причина в общих чертах состоит в том, что заряды стремятся как можно шире растечься по по­верхности проводника, а кончик острия всегда отстоит дальше всего от остальной поверхности. Поэтому часть зарядов на пла­стине течет к острию. Относительно малое количество заряда на нем может создать большую поверхностную плотность, а высокая плотность

означает сильное поле близ проводника в этом месте.

Фиг. 6.14. Электрическое по­ле у острого края проводника очень велико.

Вообще в тех местах проводника, в которых радиус кривизны меньше, поле оказывается сильнее. Чтобы убедиться в этом, рас­смотрим комбинацию из большой и маленькой сфер, соединен­ных проводом, как показано на фиг. 6.15. Сам провод не будет сильно влиять на внешние поля; его дело — уравнять потен­циалы сфер. Возле какого шара поле окажется более напряжен­ным? Если радиус левого шара а, а заряд Q, то его потенциал примерно равен

(Конечно, наличие одного шара скажется на распределении за­рядов на другом, так что на самом деле ни на одном из них заря­ды не будут распределены симметрично. Но если нас интересует лишь примерная величина поля, то можно пользоваться форму­лой для потенциала сферического заряда.) Если меньший шар радиусом b обладает зарядом q, то его потенциал примерно ра­вен

Но j₁=j₂, так что

С другой стороны, поле у поверхности [см. уравнение (5.8)] пропорционально поверхностной плотности заряда, которая в свою очередь пропорциональна суммарному заряду, делен­ному на квадрат радиуса. Получается, что

(6.35)

Фиг. 6.15. Поле остроконеч­ного предмета можно прибли­женно считать полем двух сфер одинакового потенциала.

Значит, у поверхности меньшей сферы поле больше. Поля об­ратно пропорциональны радиусам.

Этот результат с технической точки зрения очень важен, потому что в воздухе возникает пробой, если поле чересчур велико. Какой-нибудь свободный заряд в воздухе (электрон или ион) ускоряется этим полем, и если оно очень сильное, то за­ряд может набрать до столкновения с атомом такую скорость, что вышибет из атома новый электрон. В итоге появляется все больше и больше ионов. Их движение и составляет искру, или разряд. Если вам требуется зарядить тело до высокого потен­циала так, чтобы оно не разрядилось в воздух, вы должны быть уверены, что поверхность тела гладкая, что на нем нет мест, где поле чересчур велико.

§ 12. Ионный микроскоп

Сверхвысокое электрическое поле, окружающее всякий острый выступ заряженного проводника, получило интересное применение в одном приборе. Работа ионного микроскопа обус­ловлена мощными полями, возникающими вокруг металличе­ского острия. Устроен этот прибор так. Очень тонкая игла, диаметр кончика которой не более 1000 Е, помещена в центре стеклянной сферы, из которой выкачан воздух (фиг. 6.16). Внутренняя поверхность сферы покрыта тонким проводящим слоем флуоресцирующего вещества, и между иглой и флуоре­сцирующим покрытием создана очень высокая разность потенциалов.

Посмотрим сперва, что будет, если игла по отношению к флу­оресцирующему экрану заряжена отрицательно. Линии поля у кончика иглы сконцентрированы очень сильно. Электрическое поле может достигать 40·10⁶ в на 1 см. В таких сильных полях электроны отрываются от поверхности иглы и ускоряются на участке от иглы до экрана за счет разности потенциалов. Достигнув экрана, они вызывают в этом месте свечение (в точности, как на экране телевизионной трубки).

Фиг. 6.16. Ионный мик­роскоп.

Электроны, пришедшие в данную точку флуоресцирующей поверхности,— это, в очень хорошем приближении, те самые электроны, которые покинули другой конец радиальной линии поля, потому что электроны движутся вдоль линий поля, сое­диняющих кончик иглы с поверхностью сферы. Так что на поверхности мы видим своего рода изображение кончика иглы. А точнее, мы видим картину испускателъной способности по­верхности иглы, т. е. легкости, с которой электроны могут оставить поверхность металлического острия. Если сила разре­шения достаточно высока, то можно рассчитывать разрешить положения отдельных атомов на кончике иглы. Но с электро­нами такого разрешения достичь нельзя по следующим причи­нам. Во-первых, возникает квантовомеханическая дифракция электронных волн, и изображение затуманится. Во-вторых, в результате внутреннего движения в металле электроны имеют небольшую поперечную начальную скорость в момент вырывания из иглы и эта случайная поперечная составляющая ско­рости приведет к размазыванию изображения. В общей слож­ности эти эффекты ограничивают разрешимость деталей вели­чиной порядка 25А.

Если, однако, мы переменим знак напряжения и впустим в колбу немного гелия, то детали разрешены будут лучше. Когда атом гелия сталкивается с кончиком острия, мощное поле срывает с атома электрон, и атом заряжается положительно.

Фие. 6.17. Изображение, полученное ионным микро­скопом.

Затем ион гелия ускоряется вдоль силовой линии, пока не по­падет в экран. Поскольку ион гелия несравненно тяжелее элект­рона, то и квантовомеханические длины волн у него намного меньше. А если к тому же температура не очень высока, то и влияние тепловых скоростей также значительно слабее, чем у электрона. Изображение размазывается меньше и получается куда более резкое изображение кончика иглы. С микроскопом, работающим на принципе ионной эмиссии, удалось добиться увеличения вплоть до 2 000 000 раз, т. е. в десять раз лучше, чем на лучших электронных микроскопах.

На фиг. 6.17 показано, что удалось получить на таком мик­роскопе, применив вольфрамовую иглу. Центры атомов вольфра­ма ионизуют атомы гелия чуть иначе, чем промежутки между атомами вольфрама. Расположение пятен на флуоресцирующем экране демонстрирует расстановку отдельных атомов на воль­фрамовом острие. Почему пятна имеют вид колец, можно по­нять, если представить себе большой ящик, набитый шарами, уложенными в прямоугольную сетку и образующими таким обра­зом кубическую решетку. Эти шары — как бы атомы в металле. Если вы из этого ящика вырежете примерно сферическую часть, то увидите картину колец, характерную для атомной структуры. Ионный микроскоп впервые снабдил человечество средством видеть атомы. Замечательное достижение, да еще полученное с таким простым прибором.

*См. статью Мюллера [Е. W. Mueller, The field-ion microscope, Advances in Electronics and Electron Physics, 13, 83 (I960)].

Глава 7

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В РАЗНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ (продолжение)

§1.Методы определения электростати­ческого поля

§2.Двумерные поля; функции комплексного переменного

§З.Колебания плазмы

§4.Коллоидные частицы в электролите

§5.Электростати­ческое поле сетки

§ 1. Методы определения электростатического поля

В этой главе мы продолжим рассмотрение характеристик электрических полей в различ­ных условиях. Сперва мы опишем один из наи­более разработанных методов расчета полей в присутствии проводников. Мы не рассчиты­ваем, конечно, что эти усовершенствованные методы будут вами тотчас усвоены. Но вам дол­жно быть интересно получить какое-то пред­ставление о характере задач, которые удается решать при помощи техники, излагаемой в спе­циальных, более глубоких курсах. Затем мы приведем два примера, в которых нет ни за­ранее фиксированных распределений зарядов, ни растекания зарядов по проводнику, а вместо этого распределение определяют другие физи­ческие законы.

Как мы выяснили в гл. 6, задача об электро­статическом поле решается очень просто, когда распределение зарядов оговорено заранее; ос­тается только взять интеграл. Когда же име­ются проводники, то возникают усложнения, потому что распределение зарядов на провод­никах с самого начала неизвестно; заряды вынуждены сами распределять себя по поверх­ности проводника так, чтобы весь проводник приобрел одинаковый потенциал. Эти задачи так просто не решаются.

Мы рассмотрели обходный путь решения таких задач, при котором сначала отыскивают эквипотенциальные поверхности некоторого заданного распределения зарядов и потом одну из них заменяют проводящей поверх­ностью. Таким манером можно составить ката­лог частных решений для проводников любой формы, плоской, сферической и т. п. Использование изображений, описанное в гл. 6, является примером косвенного способа решения. Другой такой способ мы опишем в этой главе.

Если наша задача не относится к тем, для которых годен об­ходный путь, приходится решать ее в лоб. Математической ос­новой такого способа решения задач является решение урав­нения Лапласа

(7.1)

при условии, что потенциал j на некоторой границе (поверхно­стях проводников) равен условленной константе. Задачи, свя­занные с решением дифференциального уравнения поля, удовлетворяющего некоторым граничным условиям, называются задачами о граничных значениях. Они явились предметом интен­сивного математического изучения. Для сложных проводников общих аналитических методов решения нет. Даже такая про­стая задача, как поле заряженного металлического цилиндра с запаянными торцами — консервной банки, представляет огромные математические трудности. Ее можно решить лишь приближенно, численным методом. Единственный общий метод решения — численный.

Имеется несколько задач, в которых уравнение (7.1) все же решается. К примеру, задача о заряженном проводнике, имею­щем форму эллипсоида вращения, может быть решена с по­мощью некоторых специальных функций. Решение для тонкого диска тогда можно получить, бесконечно сплющив эллипсоид. А бесконечно вытянув тот же эллипсоид, получим поле заряжен­ной иглы. Но надо подчеркнуть, что единственный прямой спо­соб, применимый всюду и всегда, это путь численных расчетов.

Задачу о граничных значениях можно также решать на ее физическом аналоге. Уравнение Лапласа возникает во многих физических ситуациях: при изучении установившегося потока тепла, безвихревого течения жидкости, отклонений упругой мембраны. Часто можно соорудить физическую модель, являю­щуюся аналогом решаемой нами электрической задачи. Изме­рив в модели величину, аналогичную интересующей нас, можно узнать решение задачи. Примером аналоговой техники являет­ся применение электролитической ванны для решения двумер­ных задач электростатики. Решение удается потому, что дифференциальное уравнение для потенциала в однородной проводя­щей среде такое же, как и в вакууме.

Имеется много физических задач, в которых физические поля в каком-то одном направлении не изменяются или этим измене­нием можно пренебречь по сравнению с изменениями в двух дру­гих направлениях. Такие задачи называют двумерными; поле за­висит только от двух координат. Скажем, если вдоль оси z про­тянуть длинную заряженную проволоку, то в точках неподалеку от нее электрическое поле зависит от x и y, а не от z; задача дву­мерная. Так как в двумерных задачах dj/dz=0, то уравнение для j в свободном пространстве имеет вид

(7.2)

Поскольку двумерное уравнение сравнительно простое, то су­ществует широкий класс условий, в которых оно решается ана­литически. Действительно, существует могучая математическая техника, связанная с теоремами теории функций комплексного переменного. К изложению ее мы сейчас и перейдем.

§ 2. Двумерные поля; функции комплексного переменного

Комплексная величина з определяется так:

(Не перепутайте з с координатой z; координата z не встретится в дальнейшем, потому что зависимости полей от z не будет.) Тогда каждой точке на плоскости (х, у) отвечает комплексное число з. Мы можем считать з особой (комплексной) переменной величиной и с ее помощью записывать обычные математические функции F(з). Например,

Если дана некоторая определенная функция F(з), то можно подставить з=x+iy; получится функция от х и у с действи­тельной и мнимой частями. Например,

(7.3)

Любую функцию F(з) можно записать в виде суммы чисто дей­ствительной и чисто мнимой частей, и каждая из частей будет функцией от х и у:

(7.4)

где U(x, у) и V(x, у) — действительные функции. Значит, из лю­бой комплексной функции F(з) можно произвести две новые функции U (х, у) и V(x,y). К примеру, .F(з) = з² дает две функ­ции:

(7.5)

и

(7.6)

Мы подошли сейчас к удивительной математической теореме, столь прекрасной, что доказательство ее придется отложить до соответствующего математического курса. (Если мы начнем заранее приоткрывать все тайны математики, она покажется вам потом скучной.) Теорема эта состоит вот в чем. Для любой «нормальной» функции (что это такое, математики вам объяснят лучше) функции U и V автоматически удовлетворяют соотно­шениям

(7.7)

и

(7.8)

Отсюда немедленно следует, что каждая из функций U и V удовлетворяет уравнению Лапласа:

(7.9)

(7.10)

Сразу видно, что для функций (7.5) и (7.6) эти уравнения выполняются.

Значит, всегда, отправившись от какой угодно обычной функции, можно прийти к двум функциям U (х, у) и V (х, у), которые обе есть решения двумерного уравнения Лапласа. Каждая функция представляет некоторый электростатический потенциал. Любая выбранная нами функция F(з) обязана снаб­дить нас решением какой-то задачи из электростатики, вернее даже двух задач, потому что решением является как U, так и V. Так можно выписать сколько угодно решений: просто напридумывать множество функций и останется только найти задачи с такими решениями. Такой подход к задачам вполне допустим, хоть он и производится задом наперед.

Для примера посмотрим, к какой физической задаче приве­дет нас функция Р(з)=з². Из нее мы получаем две потенциаль­ные функции (7.5) и (7.6). Чтобы увидеть, какую задачу решает функция U, мы найдем эквипотенциальные поверхности, пола­гая V равным постоянному числу А:

х²-у² = А.

Это уравнение прямоугольной гиперболы. Перебирая разные значения А, мы получаем семейство гипербол, начерченное на фиг. 7.1. Когда A=0, то гиперболы вырождаются в пару диагоналей, проходящих через начало.

Такое семейство эквипотенциальных поверхностей встре­чается в нескольких физических задачах. В одной из них оно изображает детали структуры поля возле точки между двумя одинаковыми точечными зарядами.

Фиг. 7.1. Два семейства ортогональных кривых, которые могут представлять собой эквипотенциаль­ные линии двумерного электростатического поля.

В другой оно изображает поле внутри прямого угла, образованного двумя проводящими плоскостями. Если есть два электрода, изогнутых так, как по­казано на фиг. 7.2, и имеющих разные потенциалы, то поле внутри угла С будет выглядеть в точности так же, как поле около начала координат на фиг. 7.1.

Фиг. 7.2. Поле возле точки С такое же, как на фиг. 7.1.

Фиг. 7.3. Поле квадрупольной линзы.

Сплошные линии — это эквипотенциальные поверхности, а пересекающие их штрихо­вые — это линии поля Е. Вблизи острия или выступа электри­ческое поле повышается, а возле впадины или отверстия оно слабеет.

Найденное нами решение отвечает также гиперболическому электроду, помещенному около прямого угла, или двум гипер­болам при соответствующих потенциалах. Заметьте, что поле фиг. 7.1 имеет интересное свойство. Составляющая х электри­ческого поля Е дается выражением

т. е. электрическое поле пропорционально расстоянию от оси координат. Этот факт был использован, чтобы создать устрой­ство (называемое квадрупольной линзой), необходимое для фокусирования пучков частиц (см. вып. 6, гл. 29, § 9). Фокуси­рующее поле обычно получают с помощью четырех гипербо­лических электродов, изображенных на фиг. 7.3. Проводя здесь линии электрического поля, мы просто перечертили с фиг. 7.1 семейство штриховых кривых V=const. Эти линии достались нам совершенно бесплатно! Кривые V=const перпендикулярны к кривым U=const, как это следует из уравнений (7.7) и (7.8). Как только мы выбираем функцию F(з), то получаем из U и V сразу же эквипотенциальные линии и линии поля. Мы дав­но знаем, что можно решить на выбор любую из двух задач, смотря по тому, какое семейство кривых мы примем за экви­потенциальное.

Другим примером послужит функция

(7.11)

Если мы напишем

где

и

то

откуда следует

Кривые U (х, у) =А и V (х, у) = В, где U и V взяты из уравнения (7.12), проведены на фиг. 7.4. И здесь тоже можно назвать немало случаев, описываемых этими полями. Один из самых интересных — это поле у края тонкой пластинки. Если линия В=0 направо от оси у изображает тонкую заряженную пластину, то линии поля близ нее даются кривыми с различными А.

Фиг. 7.4. Кривые постоянных U(x, у) и V(x, у) ив уравнения (7.12).

Фиг. 7.5. Электрическое поле возле края тонкой за­земленной пластины.

Физическая картина показана на фиг. 7.5. Дальнейшие примеры — это функция

(7.13)

дающая нам поле снаружи прямого угла, функция

(7.14)

дающая поле заряженной нити, и функция

(7.15)

изображающая поле двумерного аналога электрического ди­поля, т. е. двух параллельных прямых, заряженных противо­положным знаком и помещенных вплотную друг к другу.

Больше этим вопросом в нашем курсе мы заниматься не бу­дем; мы должны только подчеркнуть, что, хотя техника комп­лексных переменных часто оказывается очень мощной, она ограничена все же только двумерными задачами; к тому же это все-таки косвенный метод.

§ 3. Колебания плазмы

Займемся теперь такими физическими задачами, в которых поле создается не закрепленными зарядами и не зарядами на проводящих поверхностях, а сочетанием обоих факторов. Ины­ми словами, полем управляют одновременно две системы урав­нений: 1) уравнения электростатики, связывающие электриче­ское поле с распределением зарядов; 2) уравнения из другой области физики, определяющие положение или движения за­рядов в поле.

Сперва мы разберем один динамический пример. В нем дви­жение зарядов контролируется законами Ньютона. Простой пример такого положения вещей наблюдается в плазме, в ионизованном газе, состоящем из ионов и свободных электронов распределенных в какой-то области пространства. Ионосфера (верхний слой атмосферы) служит примером такой плазмы. Ультрафиолетовые лучи Солнца отрывают от молекул воздуха электроны и создают свободные электроны и ионы. В плазме положительные ионы намного тяжелее электронов, так что можно пренебречь движением в ней ионов но сравнению с дви­жением электронов.

Пусть n₀ будет плотностью электронов в невозмущенном равновесном состоянии. Такой же должна быть и плотность положительных ионов, потому что в невозмущенном состоянии плазма нейтральна. Теперь допустим, что электроны каким-то образом выведены из равновесия. Что тогда получится? Если плотность электронов в какой-то области возросла, они начнут отталкиваться и стремиться вернуться в прежнее положение равновесия. Двигаясь к своим первоначальным положениям, они наберут кинетическую энергию и вместо того, чтобы заме­реть в равновесной конфигурации, проскочат мимо. Начнутся колебания. Нечто похожее наблюдается в звуковых волнах, но там возвращающей силой было давление газа. В плазме воз­вращающая сила — это действующее на электроны электриче­ское притяжение.

Чтобы упростить рассуждения, мы будем заниматься только одномерным движением электронов — скажем, в направлении x;. Предположим, что электроны, первоначально находившиеся в точке х, к моменту t сместились из положения равновесия на расстояние s (x, t). Раз они сместились, то плотность их, вообще говоря, изменилась. Это изменение подсчитать легко. Если посмотреть на фиг. 7.6, то видно, что электроны, вначале нахо­дившиеся между плоскостями а и b, сдвинулись и теперь нахо­дятся между плоскостями а' и b'. Количество электронов между а и b прежде было пропорционально n₀Dх; теперь то же их ко­личество находится в промежутке шириной Dx+Ds.

Фиг. 7.6. Движение волны в плазме.

Электроны от плоскости а сдвига­ются к а', а от b —к b'.

Плотность

теперь стала

(7.16)

Если изменение плотности мало, то можно написать [заменяя с помощью биномиального разложения (1+e)^-1 на (1-e)]

(7.17)

Что касается ионов, то предположим, что они не сдвинулись заметно с места (инерция-то у них куда больше), так что плот­ность их осталась прежней, n₀. Заряд каждого электрона -q_e , и средняя плотность заряда в любой точке равна

или

(7.18)

(здесь Ds/Dx записано через дифференциалы).

Далее, уравнения Максвелла связывают с плотностью заря­дов электрическое поле. В частности,

(7.19)

Если задача действительно одномерна (и никаких полей, кроме вызываемых смещением электронов, нет), то у электрического поля Е есть одна-единственная составляющая Е_х. Уравнение (7.19) вместе с (7.18) приведет к

(7.20)

Интегрируя (7.20), получаем

(7.21)

Постоянная интегрирования К равна нулю, потому что Е_х=0 при s=0.

Сила, действующая на смещенный электрон, равна

(7.22)

т. е. возвращающая сила пропорциональна смещению s элект­рона. Это приведет к гармоническим колебаниям электронов. Уравнение движения смещенного электрона имеет вид

(7.23)

Отсюда следует, что s меняется по гармоническому закону. Во времени s меняется как cos wt или, если использовать экспоненту (см. вып. 3), как

(7.24)

Частота колебаний w_р определяется из (7.23):

(7.25)

Это число, характеризующее плазму, называют собственной частотой колебаний плазмы, или плазменной частотой.

Оперируя с электронами, многие предпочитают получать ответы в единицах e², определяемых как

(7.26)

При этом условии (7.25) превращается в

(7.27)

В таком виде эту формулу можно встретить во многих книгах.

Итак, мы обнаружили, что возмущения плазмы приводят к свободным колебаниям электронов вблизи положения равновесия с собственной частотой w_р, пропорциональной корню квад­ратному из плотности электронов. Плазменные электроны ве­дут себя как резонансная система, подобная описанным в вып. 2, гл. 23.

Этот собственный резонанс плазмы приводит к интересным эффектам. Например, при прохождении радиоволн сквозь ионо­сферу обнаруживается, что они могут пройти только в том слу­чае, если их частота выше плазменной частоты. А иначе они от­ражаются обратно. Для связи с искусственным спутником мы используем высокие частоты. Если же мы хотим связаться с ра­диостанцией, расположенной где-то за горизонтом, то необхо­димы частоты меньшие, чем плазменная частота, иначе сигнал не отразится обратно к Земле.

Другой интересный пример колебаний плазмы наблюдается в металлах. В них содержится плазма из положительных ионов и свободных электронов. Плотность n₀ там очень высока, зна­чит, велика и w_р. Но колебания электронов все же можно обна­ружить. Ведь, согласно квантовой механике, гармонический осциллятор с собственной частотой w_р обладает уровнями энер­гии, отличающимися друг от друга на величину hw_р. Значит, если, скажем, обстреливать электронами алюминиевую фольгу и очень точно измерять их энергию по ту сторону фольги, то можно ожидать, что временами электроны будут из-за колеба­ний плазмы терять как раз энергию hw_p. Так это и происходит. Впервые это явление наблюдалось экспериментально в 1936 г. Электроны с энергиями от нескольких сот до несколь­ких тысяч электронвольт, рассеиваясь от тонкой металлической фольги или проходя сквозь нее, теряли энергию порциями. Эффект оставался непонятым до 1953 г., пока Бом и Пайнс не показали, что все это можно объяснить квантовым возбужде­нием плазмы в металле.

§ 4. Коллоидные частицы в электролите

Обратимся к другому явлению, когда местоположение заря­дов определяется потенциалом, создаваемым в какой-то степени самими зарядами. Такой эффект существен для поведения коллоидов. Коллоид — это взвесь маленьких заряженных час­тичек в воде. Хотя эти частички и микроскопические, но по сравнению с атомом они все же очень велики. Если бы коллоид­ные частицы не были заряжены, они бы стремились коагулиро­вать (слиться) в большие комки; но, будучи заряженными, они отталкиваются друг от друга и остаются во взвешенном состоя­нии. Если в воде растворена еще соль, то она диссоциирует (расползается) на положительные и отрицательные ионы. (Та­кой раствор ионов называется электролитом.) Отрицательные ионы притягиваются к коллоидным частицам (будем считать, что их заряды положительны), а положительные — отталки­ваются. Нам нужно узнать, как ионы, окружающие каждую частицу коллоида, распределены в пространстве.

Чтобы мысль была яснее, рассмотрим только одномерный случай. Представим себе коллоидную частицу в виде очень боль­шого (по сравнению с атомом!) шара; тогда мы можем малую часть ее поверхности считать плоскостью. (Вообще, пытаясь понять новое явление, лучше разобраться в нем на чрезвычайно упрощенной модели; и только потом, поняв суть проблемы, стоит браться за более точные расчеты.)

Предположим, что распределение ионов создает плотность за­рядов р(х) и электрический потенциал j, связанные электро­статическим законом С²j =-r/e₀, или в одномерном случае законом

(7.28)

Как бы распределились ионы в таком поле, если бы потен­циал подчинялся этому уравнению? Узнать это можно при помощи принципов статистической механики. Вопрос в том, как определить j, чтобы вытекающая из статистической меха­ники плотность заряда тоже удовлетворяла бы условию (7.28)?

Согласно статистической механике (см. вып. 4, гл. 40), час­тицы, пребывая в тепловом равновесии в поле сил, распределя­ются так, что плотность n частиц с координатой x дается фор­мулой

(7.29)

где U(x) — потенциальная энергия, k — постоянная Больцмана, а Т — абсолютная температура.

Предположим, что у всех ионов один и тот же электрический заряд, положительный или отрицательный. На расстоянии х от поверхности коллоидной частицы положительный ион будет обладать потенциальной энергией

Плотность положительных ионов тогда равна

а плотность отрицательных

Суммарная плотность заряда

или

(7.30)

Подставляя в (7.28), увидим, что потенциал j должен удов­летворять уравнению

(7.31)

Это уравнение решается в общем виде [помножьте обе его части на 2(dj/dx) и проинтегрируйте по х], но, продолжая упрощать задачу, мы ограничимся здесь только предельным случаем малых потенциалов или высоких температур Т. Малость j отвечает разбавленному раствору. Показатель экспоненты тогда мал, и можно взять

(7.32)

Уравнение (7.31) дает

(7.33)

Заметьте, что теперь в правой части стоит знак плюс (ре­шение не колебательное, а экспоненциальное).

Фиг. 7.7. Изменение по­тенциала у поверхности коллоидной частицы. D — дебаевская длина.

Общее решение (7.33) имеет вид

(7.34)

где

(7.35)

Постоянные А и В определяются из добавочных условий. В на­шем случае В должно быть нулем, иначе потенциал для боль­ших х обратится в бесконечность. Итак,

(7.36)

где А — потенциал при x=0 на поверхности коллоидной час­тицы.

Потенциал убывает в e раз при удалении на D (фиг. 7.7). Число D называется дебаевской длиной; это мера толщины ион­ной оболочки, окружающей в электролите каждую большую за­ряженную частицу. Уравнение (7.36) утверждает, что оболочка становится тоньше по мере увеличения концентрации ионов (n₀) или уменьшения температуры.

Постоянную А в (7.36) легко получить, если известен поверх­ностный заряд а на поверхности заряженной частицы. Мы знаем, что

(7.37)

Но Е это также градиент j

(7.38)

откуда получается

(7.39)

Подставив этот результат в (7.36), мы получим (положив х=0), что потенциал коллоидной частицы равен

(7.40)

Заметьте, что этот потенциал совпадает с разностью потенциалов в конденсаторе с промежутком D и поверхностной плотностью заряда s .

Мы сказали, что коллоидные частицы не слипаются вслед­ствие электрического отталкивания. Но теперь мы видим, что невдалеке от поверхности частицы из-за возникающей вокруг нее ионной оболочки поле спадает. Если бы оболочка стала до­статочно тонкой, у частиц появился бы шанс столкнуться друг с другом. Тогда они бы слиплись, коллоид бы осадился и выпал из жидкости. Из нашего анализа ясно, что после добавления в коллоид подходящего количества соли начнется выпадение осадка. Этот процесс называется «высаливанием коллоида».

Другой интересный пример — это влияние растворения соли На осаждение белка. Молекула белка — это длинная, слож­ная и гибкая цепь аминокислот. На ней там и сям имеются за­ряды, и временами заряд какого-то одного знака, скажем отри­цательного, распределяется вдоль всей цепи. В результате вза­имного отталкивания отрицательных зарядов белковая цепь распрямляется. Если в растворе имеются еще другие такие же молекулы-цепочки, то они не слипаются между собой вследст­вие того же отталкивания. Так возникает в жидкости взвесь молекул-цепочек. Но стоит добавить туда соли, как свойства взвеси изменятся. Уменьшится дебаевская длина, молекулы начнут сближаться и свертываться в спирали. А если соли мно­го, то молекулы белка начнут выпадать в осадок. Существует множество других химических явлений, которые можно понять на основе анализа электрических сил.

§ 5. Электростатическое поле сетки

Напоследок мы хотим изложить еще одно интересное свой­ство электрических полей. Оно используется в электрических приборах, электронных лампах и для других целей. Речь идет о поведении электрического поля близ сетки, составленной из заряженных проволочек. Чтоб упростить задачу, возьмем плос­кую систему параллельных проволочек бесконечной длины, про­межутки между которыми одинаковы.

Если мы посмотрим на поле где-то высоко над плоскостью проволочек, перед нами предстанет однородное электрическое поле, такое, словно заряд распределен на плоскости равномер­но. По мере приближения к сетке начнутся отклонения от преж­ней однородности. Мы хотим оценить, насколько близко от сетки появятся заметные изменения в потенциале.

Фиг. 7.8. Эквипотен­циальные поверхности над однородной сеткой из заряженных прово­лочек.

На фиг. 7.8 показа­но примерное расположение эквипотенциальных поверхностей на разных расстояниях от сетки. Чем ближе к сетке, тем сильнее колебания. Двигаясь параллельно сетке, мы заметим, что поле изменяется периодически.

Мы уже знаем (см. вып. 4, гл. 50), что любая периодическая величина может быть представлена в виде суммы синусных волн (теорема Фурье). Посмотрим, нельзя ли найти подходящую коле­бательную функцию, которая удовлетворяет нашим уравнениям поля.

Если проволочки лежат в плоскости ху параллельно оси y, то можно попробовать испытать члены вида

(7.41)

где а — расстояние между нитями, а n — число колебаний. (Мы предположили, что нити эти очень длинные, так что ника­ких изменений по у не заметно.) Полное решение должно со­стоять из суммы таких членов при n=1, 2, 3... Чтоб получился правильный потенциал, оно должно в области над сеткой (где зарядов нет) подчиняться уравнению Лапласа, т. е.

Испытывая этим уравнением функцию j из (7.41), мы получаем

(7.42)

т.е. F_n(z) должно удовлетворять условию

(7.43)

Итак, должно быть

(7.44)

(7.45)

Мы обнаружили, что если имеется компонента Фурье n-й гар­моники поля, то эта компонента должна убывать по экспоненте с высотой, причем характерным расстоянием является z₀=a/2pn. Амплитуда у первой гармоники (n=1) уменьшается в е^2p раз (очень резкое падение) каждый раз, когда мы удаляемся от сетки на величину одного промежутка а. Другие гармоники убы­вают еще быстрее. Мы видим, что уже на расстоянии в несколько а сетка кажется почти однородной, т. е. колебания поля очень малы. Конечно, всегда остается «нулевая гармоника» поля

j₀=-E₀z.

которая и дает однородное поле при больших z. Для полного решения нужно добавить этот член к сумме членов вида (7.41) с F_n из (7.44) , причем каждый член надо взять с коэффициентом А_n . Эти коэффициенты выбираются так, чтобы после дифферен­цирования получилось поле, согласующееся с плотностью заря­дов К на проволочках сетки.

Развитым нами методом можно объяснить, почему электро­статическая защита с помощью сетки ничуть не хуже сплошных листов металла. Поле за сеткой равно нулю всюду, за исключе­нием промежутка у самой сетки, не превышающего по размерам нескольких ее ячеек. Мы видим, что медная сетка, которая на­много легче и дешевле сплошной медной обшивки, вполне при­годна для защиты чувствительного электрического оборудова­ния от возмущающих внешних полей.

* О новых работах по этому вопросу и библиографию см. в статье С. J.Powell, J.B. Swann, Phys. Rev., 115, 869 (1959).

Глава 8

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

§1 .Электростатиче­ская энергия зарядов. Однородный шар

§2.Энергия конденсатора. Силы, действующие на заряженные проводники

§З.Электростатическая энергия ионного кристалла

§4.Электростатиче­ская энергия ядра

§5,Энергия в электро­статическом поле

§6.Энергия точечного заряда

Повторить: гл. 4 (вып. 1) «Сохранение энергии»; гл. 13 и 14 (вып. 1) «Работа и потенциальная энергия»

§ 1. Электростатическая энергия зарядов. Однородный шар

Одно из самых интересных и полезных от­крытий в механике —это закон сохранения энер­гии. Зная формулы для кинетической и потен­циальной энергий механической системы, мы способны обнаруживать связь между состоя­ниями системы в два разных момента времени, не вникая в подробности того, что происходит между этими моментами. Мы хотим определить теперь энергию электростатических систем. В электричестве сохранение энергии окажется столь же полезным для обнаружения многих любопытных фактов.

Закон, по которому меняется энергия при электростатическом взаимодействии, очень прост; на самом деле мы его уже обсуждали. Пусть имеются заряды q₁ и q₂, разделенные про­межутком r₁₂. У этой системы есть какая-то энергия, потому что понадобилась какая-то работа, чтобы сблизить заряды. Мы подсчиты­вали работу, производимую при сближении двух зарядов с большого расстояния; она равна

(8.1)

Мы знаем из принципа наложения, что если зарядов много, то общая сила, действующая на любой из зарядов, равна сумме сил, дей­ствующих со стороны всех прочих зарядов. От­сюда следует, что полная энергия системы не­скольких зарядов есть сумма членов, выражаю­щих взаимодействие каждой пары зарядов по отдельности. Если q_i и q_j- — какие-то два из зарядов, а расстояние между ними r_ij (фиг. 8.1),

Фиг. 8.1. Электростатическая анергия системы частиц есть сумма электростатических энер­гий каждой пары.

то энергия именно этой пары равна

(8.2)

Полная электростатическая энергия U есть сумма энергий все­возможных пар зарядов:

(8.3)

Если распределение задается плотностью заряда r, то сумму в (8.3) нужно, конечно, заменить интегралом.

Мы расскажем здесь об энергии с двух точек зрения. Пер­вая — применение понятия энергии к электростатическим зада­чам; вторая — разные способы оценки величины энергии. По­рой легче бывает подсчитать выполненную в каком-то случае работу, чем оценить величину суммы в (8.3) или величину со­ответствующего интеграла. Для образца подсчитаем энергию, необходимую для того, чтобы собрать из зарядов однородно за­ряженный шар. Энергия здесь есть не что иное, как работа, которая затрачивается на собирание зарядов из бесконечности.

Представьте, что мы сооружаем шар, наслаивая последова­тельно друг на друга сферические слои бесконечно малой тол­щины. На каждой стадии процесса мы собираем небольшое ко­личество электричества и размещаем его тонким слоем от r до r+dr. Мы продолжаем процесс этот до тех пор, пока не добе­ремся до заданного радиуса а (фиг. 8.2). Если Q_r -— это заряд шара в тот момент, когда шар доведен до радиуса r, то работа, требуемая для доставки на шар заряда dQ, равна

(8.4)

Фиг. 8.2. Энергию однород­но заряженного шара можно рассчитать, вообразив, что его слепили, последовательно наслаивая друг на друга сферические слои.

Если плотность заряда внутри шара есть r, то заряд Q_r равен

Уравнение (8.4) превращается в

(8.5)

Полная энергия, требуемая на то, чтобы накопить полный шар зарядов, равна интегралу по dU от r=0 до r=а, т.е.

(8.6)

а если мы желаем выразить результат через полный заряд Q шара, то

(8.7)

Энергия пропорциональна квадрату полного заряда и об­ратно пропорциональна радиусу. Можно представить (8.7) и так: среднее значение (1/r_ij) по всем парам точек внутри шара равно ⁶/₅а.

§ 2. Энергия конденсатора. Силы, действующие на заряженные проводники

Рассмотрим теперь энергию, требуемую на то, чтоб зарядить конденсатор. Если заряд Q был снят с одной обкладки конден­сатора и перенесен на другую, то между обкладками возникает разность потенциалов, равная

(8.8)

где С — емкость конденсатора. Сколько работы затрачено на зарядку конденсатора? Поступая точно так же, как мы посту­пали с шаром, вообразим, что конденсатор уже заряжен перено­сом заряда с одной обкладки на другую маленькими порциями dQ. Работа, требуемая для переноса заряда dQ, равна

Взяв V из (8.8), напишем

Или, интегрируя от Q=0 до конечного заряда Q, получаем

(8.9)

Эту энергию можно также записать в виде

(8.10)

Вспоминая, что емкость проводящей сферы (по отношению к бесконечности) равна

мы немедленно получим из уравнения (8.9) энергию заряженной сферы

(8.11)

Это выражение, конечно, относится также и к энергии тонкого сферического слоя с полным зарядом Q; получается ⁵/₆ энер­гии однородно заряженного шара [уравнение (8.7)].

Посмотрим, как применяется понятие электростатической энергии. Рассмотрим два вопроса. Какова сила, действующая между обкладками конденсатора? Какой вращательный (крутя­щий) момент вокруг некоторой оси испытывает заряженный про­водник в присутствии другого проводника с противоположным зарядом? На такие вопросы легко ответить, пользуясь нашим выражением (8.9) для электростатической энергии конденсатора и принципом виртуальной работы (см. вып. 1, гл. 4, 13 и 14).

Применим этот метод для определения силы, действующей между двумя обкладками плоского конденсатора. Если мы пред­ставим, что промежуток между пластинами расширился на не­большую величину Dz, то тогда механическая работа, произво­димая извне для того, чтобы раздвинуть обкладки, была бы равна

(8.12)

где F — сила, действующая между обкладками. Эта работа обя­зана быть равной изменению электростатической энергии кон­денсатора, если только заряд конденсатора не изменился.

Согласно уравнению (8.9), энергия конденсатора первона­чально была равна

Изменение в энергии (если мы не допускаем изменения величи­ны заряда) тогда равно

(8.13)

Приравнивая (8.12) и (8.13), получаем

(8.14)

что может также быть записано в виде

(8.15)

Ясно, эта сила здесь возникает от притяжения зарядов на обкладках; мы видим, однако, что заботиться о том, как там они рас­пределены, нам нечего; единственное, что нам нужно, — это учесть емкость С.

Легко понять, как обобщить эту идею на проводники произ­вольной формы и на прочие составляющие силы. Заменим в урав­нении (8.14) F той составляющей, которая нас интересует, а Dz — малым смещением в соответствующем направлении. Или если у нас есть электрод, насаженный на какую-то ось, и мы хо­тим знать вращательный момент t, то запишем виртуальную ра­боту в виде

DW = tDq,

где Dq — небольшой угловой поворот. Конечно, теперь D(1/C) должно быть изменением 1/С, отвечающим повороту на Dq.

Фиг. 8.3. Чему равен вращатель­ный момент, действующий на переменный конденсатор?

Таким способом мы можем определить вращательный момент, действующий на подвижные пластины переменного конденса­тора, показанного на фиг. 8.3.

Вернемся к частному случаю плоского конденсатора; мы можем взять формулу для емкости, выведенную в гл. 6:

(8.16)

где А—площадь каждой обкладки. Если промежуток уве­личится на Dz, то

Из (8.14) тогда следует, что сила притяжения между двумя обкладками равна

(8.17)

Взглянем на уравнение (8.17) повнимательнее и подумаем, нельзя ли сказать, как возникает эта сила. Если заряд на одной из обкладок мы запишем в виде

то (8.17) можно будет переписать так:

Или поскольку поле между пластинами равно

то

(8.18)

Можно было сразу догадаться, что сила, действующая на одну из пластин, будет равна заряду Q этой пластины, умножен­ному на поле, действующее на заряд. Но что удивляет, так это множитель ¹/₂. Дело в том, что Е₀ —это не то поле, которое действует на заряды. Если вообразить, что заряд на поверх­ности пластины занимает какой-то тонкий слой (фиг. 8.4), то поле будет меняться от нуля на внутренней границе слоя до Е₀ в пространстве снаружи пластин. Среднее поле, действующее на поверхностные заряды, равно Е₀/2. Вот отчего в (8.18) стоит множитель ¹/₂.

Вы должны обратить внимание на то, что, рассчитывая вир­туальную работу, мы предположили, что заряд конденсатора постоянен, что конденсатор не был электрически связан с дру­гими предметами и полный заряд не мог изменяться.

Фиг. 8.4. Поле у поверхности проводника меняется от нуля до E₀=s/e₀, когда пересечен слой по­верхностного заряда. 1 — проводящая пластина; 2 — слой поверхностного заряда.

А теперь пусть мы предположили, что при виртуальных пе­ремещениях конденсатор поддерживается при постоянной раз­ности потенциалов. Тогда мы должны были бы взять

и вместо (8.15) мы бы имели

что приводит к силе, равной по величине той, что была получена в уравнении (8.15) (так как V = Q/C), но с противоположным знаком!

Конечно, сила, действующая между пластинами конденса­тора, не меняет свой знак, когда мы отсоединяем конденсатор от источника электричества. Кроме того, мы знаем, что две плас­тины с разноименными электрическими зарядами должны при­тягиваться. Принцип виртуальной работы во втором случае был применен неправильно, мы не приняли во внимание виртуаль­ную работу, производимую источником, заряжающим конден­сатор. Это значит, что для того, чтобы удержать потенциал при постоянном значении V, когда меняется емкость, источник элект­ричества должен снабдить конденсатор зарядом VDC. Но этот заряд поступает при потенциале V, так что работа, выполняе­мая электрической системой, удерживающей заряд постоянным, равна V²DC. Механическая работа .FDz плюс эта электрическая работа V²DC вместе приводят к изменению полной энергии кон­денсатора на ¹/₂V²DC. Поэтому на механическую работу, как и прежде, приходится FDz=-¹/₂ V²DC.

§ 3. Электростатическая энергия ионного кристалла

Рассмотрим теперь применение понятия электростатической энергии в атомной физике. Мы не можем запросто измерять силы, действующие между атомами, но часто нас интересует разница в энергиях двух расстановок атомов (к примеру, энергия химических изменений). Так как атомные силы в основе своей — это силы электрические, то и химическая энергия в главной своей части — это просто электростатиче­ская энергия.

Рассмотрим, например, электростатическую энергию ионной решетки. Ионный кристалл, такой, как NaCl, состоит из поло­жительных и отрицательных ионов, которые можно считать жесткими сферами. Они электрически притягиваются, пока не соприкоснутся; затем вступает в дело сила отталкивания, кото­рая быстро возрастает, если мы попытаемся сблизить их теснее.

Для первоначального приближения вообразим себе совокуп­ность жестких сфер, представляющих атомы в кристалле соли. Строение такой решетки было определено с помощью дифрак­ции рентгеновских лучей. Эта решетка кубическая — что-то вроде трехмерной шахматной доски. Сечение ее изображено на фиг. 8.5. Промежуток между ионами 2,81 Е (или 2,81·10^-8 см).

Если наше представление о системе правильно, мы должны уметь проверить его, задав следующий вопрос: сколько понадо­бится энергии, чтобы разбросать эти ионы, т. е. полностью раз­делить кристалл на ионы? Эта энергия должна быть равна теп­лоте испарения соли плюс энергия, требуемая для диссоциации молекул на ионы. Полная энергия разделения NaCl на ионы, как следует из опыта, равна 7,92 эв на молекулу.

Фиг. 8.5. Поперечный разрез кристалла соли в масштабе нескольких атомов.

В двух перпендикулярных к плоскости рисунка сечениях будет такое же шахматное расположение ионов Na и Сl (см. вып. 1, фиг. 1.7).

Пользуясь коэффициентом перевода

и числом Авогадро (количество молекул в грамм-молекуле)

можно представить энергию испарения в виде

Излюбленная единица энергии, которой пользуются физико-химики,— килокалория, равная 4190 дж; так что 1 эв на молеку­лу — это все равно что 23 ккал/моль. Химик сказал бы поэтому, что энергия диссоциации NaCl равна

Можем ли мы получить эту химическую энергию теоретиче­ски, подсчитывая, сколько работы понадобится для того, чтобы распотрошить кристалл? По нашей теории она равна сумме по­тенциальных энергий всех пар ионов. Проще всего составить себе представление об этой энергии, выбрав какой-то один ион и подсчитав его потенциальную энергию по отношению ко всем прочим ионам. Это даст удвоенную энергию на один ион, потому что энергия принадлежит парам зарядов. Если нам нужна энер­гия, связанная с одним каким-то ионом, то мы должны взять полусумму. Но на самом деле нам нужна энергия на молекулу, содержащую два иона, так что вычисляемая нами сумма прямо даст нам энергию на молекулу.

Энергия иона по отношению к его ближайшему соседу равна —e²/a, где e²=q²_e/4pe₀, а а — промежуток между центрами ио­нов. (Мы рассматриваем одновалентные ионы.) Эта энергия рав­на —5,12 эв; мы уже видим, что ответ получается правильного порядка величины. Но нам еще предстоит подсчитать бесконеч­ный ряд членов.

Начнем со сложения энергий всех ионов, лежащих по пря­мой. Считая ион, отмеченный на фиг. 8.5 значком Na, нашим выделенным ионом, сперва рассмотрим те ионы, которые лежат на одной с ним горизонтали. Там есть два ближайших к нему иона хлора с отрицательными зарядами, на расстоянии я от Na каждый. Затем идут два положительных иона на расстояниях 2а и т. д. Обозначая эту сумму энергий U₁, напишем

(8.19)

Ряд сходится медленно, так что численно его оценить трудно,

но известно, что он равен ln2. Значит,

(8.20)

Теперь перейдем к ближайшей линии, примыкающей сверху. Ближайший ион отрицателен и находится на расстоянии а. Затем стоят два положительных на расстоянияхЦ2а. Следующая пара — на расстоянии Ц5а, следующая— наЦ10а и т. д. Для всей линии получается ряд

(8.21)

Таких линий четыре: выше, ниже, спереди и сзади. Затем име­ются четыре линии, которые являются ближайшими по диагона­ли, и т. д. и т. д.

Если вы терпеливо произведете подсчеты для всех линий и затем все сложите, то увидите, что итог таков:

Это число немного больше того, что было получено в (8.20) для первой линии. Учитывая, что е²/а=-5,12 эв, мы получим

Наш ответ приблизительно на 10% больше экспериментально наблюдаемой энергии. Он показывает, что наше представление о том, что вся решетка скрепляется электрическими кулоновскими силами, в основе своей правильно. Мы впервые получили спе­цифическое свойство макроскопического вещества из наших по­знаний в атомной физике. Со временем мы добьемся гораздо большего. Область науки, пробующая понять поведение боль­ших масс вещества на языке законов атомного поведения, назы­вается физикой твердого тела.

А как же с ошибкой в наших расчетах? Почему они не до конца верны? Мы не учли отталкивание между ионами на близ­ких расстояниях. Это ведь не совершенно жесткие сферы, так что, сблизясь, они немного сплющиваются. Но они не очень мягкие и сплющиваются самую чуточку. Все же какая-то энер­гия уходит на эту деформацию, и вот, когда ионы разлетаются, эта энергия высвобождается. Энергия, которая на самом деле нужна для того, чтобы развести все ионы врозь, чуть меньше той, которую мы вычислили; отталкивание помогает преодолеть электростатическое притяжение.

А есть ли возможность как-то прикинуть долю этого оттал­кивания? Да, если мы знаем закон силы отталкивания. Мы еще не умеем пока анализировать детали механизма отталкивания, но некоторое представление о его характеристиках мы можем получить из макроскопических измерений. Измеряя сжимае­мость кристалла как целого, можно получить количественное представление о законе отталкивания между ионами, а отсю­да — о его вкладе в энергию. Таким путем было обнаружено, что вклад этот должен составлять 1/9,4 часть вклада от электро­статического притяжения и иметь, естественно, противополож­ный знак. Если этот вклад мы вычтем из чисто электростатиче­ской энергии, то получим для энергии диссоциации на молекулу число 7,99 эв. Это намного ближе к наблюдаемому результату 7,92 эв, но все еще не находится в совершенном согласии. Есть еще одна вещь, которую мы не учли: мы не сделали никаких до­пущений о кинетической энергии колебаний кристалла. Если сделать поправку на этот эффект, то сразу возникнет очень хоро­шее согласие с экспериментальной величиной. Значит, наши представления правильны: главный вклад в энергию кристалла, такого, как NaCl, является электростатическим.

§ 4. Электростатическая энергия ядра

Обратимся теперь к другому примеру электростатической энергии в атомной физике — к электростатической энергии атомного ядра. Прежде чем заняться этим вопросом, мы должны рассмотреть некоторые свойства тех основных сил (называемых ядерными силами), которые скрепляют между собой протоны и нейтроны в ядре. Первое время после открытия ядер — и про­тонов с нейтронами, которые их составляют,— надеялись, что закон сильной, неэлектрической части силы, действующей, на­пример, между одним протоном и другим, будет иметь какой-нибудь простой вид, подобный, скажем, закону обратных квад­ратов в электричестве. Если бы удалось определить этот закон сил и, кроме того, сил, действующих между протоном и нейт­роном и между нейтроном и нейтроном, то тогда можно было бы теоретически описать все поведение этих частиц в ядрах. Поэтому начала разворачиваться большая программа изучения рассеяния протонов в надежде отыскать закон сил, действую­щих между ними; но после тридцатилетних усилий ничего про­стого не возникло. Накопился заметный багаж знаний о силах, действующих между протоном и протоном, но при этом обнару­жилось, что эти силы сложны настолько, насколько возможно себе представить.

Под словами «сложны настолько, насколько возможно» мы понимаем, что силы зависят от всех величин, от каких они могли бы зависеть.

Во-первых, сила не простая функция расстояния между протонами. На больших расстояниях существует притяжение, на меньших — отталкива­ние.

Фиг. 8.6. Сила взаимодейст­вия двух протонов зависит от всех мыслимых параметров.

Зависимость от рас­стояния — это некоторая сложная функция, все еще не очень хорошо известная. Во-вторых, сила зави­сит от ориентации спина протонов. У протонов есть спин, а два взаимодействующих протона могут вращаться либо в одном и том же, либо в про­тивоположных направлениях. И сила, когда спины парал­лельны, отличается от того, что бывает, когда спины антипа­раллельны (фиг. 8.6, а и б). Разница велика; пренебречь ею нельзя.

В-третьих, сила заметно изменяется, смотря по тому, па­раллелен или нет промежуток между протонами их спинам (фиг. 8.6, в и г) или же он им перпендикулярен (фиг. 8.6, а и б).

В-четвертых, сила, как и в магнетизме, зависит (и даже зна­чительно сильнее) от скорости протонов. И эта скоростная зави­симость силы отнюдь не релятивистский эффект; она велика да­же тогда, когда скорости намного меньше скорости света. Бо­лее того, эта часть силы зависит, кроме величины скорости, и от других вещей. Скажем, когда протон движется невдалеке от другого протона, сила меняется от того, совпадает ли орби­тальное движение по направлению со спиновым вращением (фиг. 8.6, д), или эти два направления противоположны (фиг. 8.6, е). Это то, что называется «спин-орбитальной» частью силы.

Не в меньшей степени сложный характер имеют силы вза­имодействия протона с нейтроном и нейтрона с нейтроном. До сего дня мы не знаем механизма, определяющего эти силы, не знаем никакого простого способа их понять.

Впрочем, в одном важном отношении ядерные силы все же проще, чем могли бы быть. Ядерные силы, действующие между двумя нейтронами, совпадают с силами, действующими между протоном и нейтроном, и с силами, действующими между двумя протонами! Если в некоторой системе, в которой имеются ядра, мы заменим нейтрон протоном (и наоборот), то ядерные взаимодействия не изменятся! «Фундаментальная причина» этого равенства нам не известна, но это проявление важного принципа, который может быть расширен на законы взаимодействия других силь­но взаимодействующих ча­стиц, таких, как л-мезоны и «странные» частицы.

Этот факт прекрасно ил­люстрируется расположе­нием уровней энергии в похожих ядрах.

Фиг. 8.7. Энергетические уровни ядер В¹¹ и С¹¹ (энергии в Мэв). Основное состояние С¹¹ на 1,982 Мэв выше, чем то же состояние В¹¹.

Рассмотрим такое ядро, как В¹¹ (бор-одиннадцать), состоящее из пяти протонов и шести нейтронов. В ядре эти одиннадцать частиц взаимодействуют друг с другом, совершая какой-то замысловатый танец. Но существу­ет такое сочетание всех возможных взаимодействий, кото­рое обладает энергией, наинизшей из возможных; это нормаль­ное состояние ядра, и его называют основным. Если ядро возму­тить (скажем, стукнув по нему высокоэнергичным протоном или еще какой-то частицей), то оно может перейти в любое число дру­гих конфигураций, называемых возбужденными состояниями, каждое из которых будет обладать своей характеристической энергией, которая выше энергии основного состояния. В иссле­дованиях по ядерной физике, скажем проводимых с генератором Ван-де-Граафа, энергии и другие свойства этих возбужденных состояний определяются экспериментально. Энергии пятнад­цати наинизших из известных возбужденных состояний В¹¹ показаны на одномерной схеме в левой половине фиг. 8.7. Гори­зонталь внизу представляет основное состояние. Первое возбуж­денное состояние имеет энергию на 2,14 Мэв выше, чем основ­ное, следующее — на 4,46 Мэв выше, чем основное, и т. д. Иссле­дователи пытаются найти объяснение этой довольно запутанной картины уровней энергии; пока, однако, нет еще полной общей теории таких ядерных уровней энергии.

Если в В¹¹ заменить один из нейтронов протоном, получится ядро изотопа углерода С¹¹. Энергии шестнадцати низших воз­бужденных состояний ядра С¹¹ тоже были измерены; они пока­заны на фиг. 8.7 справа. (Штрихами проведены уровни, для ко­торых экспериментальная информация находится под вопросом.)

Глядя на фиг. 8.7, мы замечаем поразительное подобие меж­ду картинами уровней энергии обоих ядер. Первые возбужден­ные состояния находятся примерно на 2 Мэв выше основного. Затем имеется широкая щель шириной 2,3 Мэв, отделяющая второе возбужденное состояние от первого, затем небольшой скачок на 0,5 Мэв до третьего уровня. Потом опять большой скачок от четвертого до пятого уровня, но между пятым и ше­стым узкий промежуток в 0,1 Мэв. И так далее. Примерно на десятом уровне соответствие, видимо, пропадает, но его все еще можно обнаружить, если пометить уровни другими характе­ристиками, скажем их моментами количества движения, и тем, каким способом они теряют свой избыток энергии.

Впечатляющее подобие картины уровней энергии ядер В¹¹ и С¹¹ — отнюдь не просто совпадение. Оно скрывает за собой некоторый физический закон. И действительно, оно показы­вает, что даже в сложных условиях ядра замена нейтрона про­тоном мало что изменит. Это может значить лишь то, что нейтрон-нейтронные и протон-протонные силы должны быть почти оди­наковыми. Только тогда мы могли бы ожидать, что ядерные конфигурации из пяти протонов и шести нейтронов совпадут с комбинацией «пять нейтронов — шесть протонов».

Заметьте, что свойства этих ядер ничего не говорят нам о нейтрон-протонных силах; число нейтрон-протонных комбина­ций в обоих ядрах одинаково. Но если мы сравним два других ядра, таких, как С¹⁴ с его шестью протонами и восемью нейтро­нами и N¹⁴, в котором и тех, и других по семи штук, то выявим в энергетических уровнях такое же соответствие. Можно выве­сти заключение, что р—р-, n—n- и р—n-силы совпадают между собой во всех деталях. В законах ядерных сил возник неожидан­ный принцип. Хотя силы, действующие между каждой парой ядерных частиц, очень запутаны, но силы взаимодействия для любой из трех мыслимых пар одни и те же.

Однако есть и какие-то слабые отличия. Точного соответствия уровней нет; кроме того, основное состояние С¹¹ обладает абсо­лютной энергией (массой), которая на 1,982 Мэв выше основного состояния В¹¹. Все прочие уровни тоже по абсолютной величине энергии выше на такое же число. Так что силы не совсем точно равны. Но мы и так хорошо знаем, что полная, величина сил не совсем одинакова; между двумя протонами действуют электриче­ские силы, ведь каждый из них заряжен положительно, а между нейтронами таких сил нет. Может быть, различие между В¹¹ и С¹¹ объясняется тем фактом, что в этих двух случаях различны электрические взаимодействия протонов? А может, и остающаяся ми­нимальная разница в уровнях вызывается электрическими эф­фектами? Раз уж ядерные силы так сильны по сравнению с электрическими, то электрические эффекты могли бы только слегка возмутить энергии уровней.

Чтобы проверить это представление или, лучше сказать, чтобы выяснить, к каким следствиям оно приведет, мы сперва рассмотрим разницу в энергиях основных состояний обоих ядер. Чтобы модель была совсем простой, положим, что ядра — это шары радиуса r (который нужно определить), содержащие Z протонов. Если считать ядро шаром с равномерно распреде­ленным зарядом, то можно ожидать, что электростатическая энергия [из уравнения (8.7)] окажется равной

(8.22)

где q_e — элементарный заряд протона. Из-за того, что Z равно для В¹¹ пяти, а для С¹¹ шести, электростатические энергии бу­дут различаться.

Но при таком малом количестве протонов уравнение (8.22) не совсем правильно. Если мы подсчитаем электрическую энер­гию взаимодействия всех пар протонов, рассматриваемых как точки, примерно однородно распределенные по шару, то увидим, что величину Z² в (8.22) придется заменить на Z(Z-1), так что энергия будет равна

(8.23)

Если известен радиус ядра r, мы можем воспользоваться выра­жением (8.23), чтобы определить разницу электростатических энергий ядер В¹¹ и С¹¹. Но проделаем обратное: из наблюдаемой разницы в энергиях вычислим радиус, считая, что вся суще­ствующая разница по происхождению — электростатическая. В общем, это не совсем верно. Разность энергий 1,982 Мэв двух основных состояний В¹¹ и С¹¹ включает энергии покоя, т. е. энергии тc² всех частиц. Переходя от В¹¹ к С¹¹, мы замещаем нейтрон протоном, масса которого чуть поменьше. Так что часть разности энергий — это разница в массах покоя нейтрона и протона, составляющая 0,784 Мэв. Та разность, которую надо сравнивать с электростатической энергией, тем самым больше 1,982 Мэв; она равна

Подставив эту энергию в (8.23), для радиуса В¹¹ или С¹¹ по­лучим

(8.24)

Имеет ли это число какой-нибудь смысл? Чтобы это прове­рить, сравним его с другими определениями радиусов этих ядер.

Например, можно определить радиус ядра иначе, наблюдая, как рассеивает оно быстрые частицы. В ходе этих измерений выяс­нилось, что плотность вещества во всех ядрах примерно оди­накова, т. е. их объемы пропорциональны числу содержащихся в них частиц. Если через А обозначить число протонов и нейтро­нов в ядре (число, очень близко пропорциональное его массе), то оказывается, что радиус ядра дается выражением

(8.25)

где

(8.26)

Из этих измерений мы получим, что радиус ядра В¹¹ (или С¹¹)должен быть примерно равен

Сравнив это с выражением (8.24), мы увидим, что наши пред­положения об электростатическом происхождении разницы в энергиях В¹¹ и С¹¹ не столь неверны; расхождение едва ли до­стигает 15% (а это не так уж скверно для первого расчета по теории ядра!).

Причина расхождения, по всей вероятности, состоит в сле­дующем. Согласно нашему нынешнему пониманию ядер, четное количество ядерных частиц (в случае В¹¹ пять нейтронов с пятью протонами) образует своего рода оболочку; когда к этой оболочке добавляется еще одна частица, то вместо того, чтобы поглотиться, она начинает обращаться вокруг оболочки. Если это так, то для добавочного протона нужно взять другое значение электростатической энергии. Нужно считать, что избыток энер­гии С¹¹ над В¹¹ как раз равен

т. е. равен энергии, необходимой для того, чтобы снаружи обо­лочки появился еще один протон. Это число составляет ⁵/₆ ве­личины, предсказываемой уравнением (8.23), так что новое значение радиуса будет равно ⁵/₆ от (8.24). Оно намного лучше согласуется с прямыми измерениями.

Согласие в цифрах приводит к двум выводам. Первый: зако­ны электричества, видимо, действуют и на столь малых расстоя­ниях, как 10^-13 см. Второй: мы убедились в замечательном сов­падении — неэлектрическая часть сил взаимодействия протона с протоном, нейтрона с нейтроном и протона с нейтроном одинакова.

§ 5. Энергия в электростатическом поле

Рассмотрим теперь другие способы подсчета электростатичес­кой энергии. Все они могут быть получены из основного соот­ношения (8.3) суммированием (по всем парам) взаимных энергий каждой пары зарядов. Прежде всего, мы хотим написать выраже­ние для энергии распределения зарядов. Как обычно, считаем, что каждый элемент объема dV содержит в себе элемент заряда pdV. Тогда уравнение (8.3) запишется так:

(8.27)

Обратите внимание на появление множителя ¹/₂. Он возник из-за того, что в двойном интеграле по dV₁ и по dV₂ каждая пара элементов заряда считалась дважды. (Не существует удобной записи интеграла, в которой каждая пара считалась бы только по одному разу.) Затем заметьте, что интеграл по dV₂ в (8.27) — это просто потенциал в точке (1), т. е.

так что (8.27) можно записать в виде

А так как точка (2) при этом выпала, то можно написать просто

(8.28)

Это уравнение можно истолковать так. Потенциальная энер­гия заряда rdV равна произведению этого заряда на потенциал в той же точке. Вся энергия поэтому равна интегралу от jrdV. Но, кроме этого, есть множитель ¹/₂. Он все еще необходим, по­тому что энергии считаются дважды. Взаимная энергия двух зарядов равна заряду одного из них на потенциал другого в этой точке. Или заряду другого на потенциал от первого во второй точке. Так что для двух точечных зарядов можно написать

или

Обратите внимание, что это же можно написать и так:

(8.29)

Интеграл в (8.28) отвечает сложению обоих слагаемых в скобках выражения (8.29). Вот зачем нужен множитель ¹/₂.

Интересен и такой вопрос: где размещается электростатичес­кая энергия? Правда, можно в ответ спросить: а не все ли равно?

Есть ли смысл у такого вопроса? Если имеется пара взаимодей­ствующих зарядов, то их сочетание обладает некоторой энер­гией. Неужели нужно непременно уточнять, что энергия со­средоточена на этом заряде, или на том, или на обоих сразу, или между ними? Все эти вопросы лишены смысла, потому что мы знаем, что на самом деле сохраняется только полная, суммар­ная энергия. Представление о том, что энергия сосредоточена где-то, не так уж необходимо.

Ну а все же предположим, что в том, что энергия всегда со­средоточена в каком-то определенном месте (подобно тепловой энергии), действительно смысл есть. Тогда мы могли бы наш принцип сохранения энергии расширить, соединив его с идеей о том, что если в каком-то объеме энергия меняется, то это изме­нение можно учесть, наблюдая приток или отток энергии из объема. Вы ведь понимаете, что наше первоначальное утвержде­ние о сохранении энергии по-прежнему будет превосходно вы­полняться, если какая-то энергия пропадет в одном месте и возникнет где-то далеко в другом, а в промежутке между этими местами ничего не случится (ничего — это значит не случится каких-либо явлений особого рода). Поэтому мы можем перейти теперь к расширению наших идей о сохранении энергии. Назо­вем это расширение принципом локального (местного) сохране­ния энергии. Такой принцип провозглашал бы, что энергия внутри любого данного объема изменяется лишь на количество, равное притоку (или убыли) энергии в объем (или из него). И действительно, такое локальное сохранение энергии вполне возможно. Если это так, то в нашем распоряжении будет куда более детальный закон, чем простое утверждение о сохранении полной энергии. И, как оказывается, в природе энергия действи­тельно сохраняется локально, в каждом месте порознь, и можно написать формулы, показывающие, где энергия сосредоточена и как она перетекает с места на место.

Имеется и физический резон в требовании, чтобы мы были в состоянии указать, где именно заключена энергия. По теории тяготения всякая масса есть источник гравитационного притя­жения. А по закону Е=тс² мы также знаем, что масса и энергия вполне равноценны друг другу. Стало быть, всякая энергия яв­ляется источником силы тяготения. И если б мы не могли узнать, где находится энергия, мы бы не могли знать, где расположена масса. Мы не могли бы сказать, где размещаются источники поля тяготения. И теория тяготения стала бы неполной.

Конечно, если мы ограничимся электростатикой, то способа узнать, где сосредоточена энергия, у нас нет. Но полная система максвелловских уравнений электродинамики снабдит нас не­сравненно более полной информацией (хотя и тогда, строго говоря, ответ до конца определенным не станет). Подробнее мы этот вопрос рассмотрим позже. А сейчас приведем лишь результат, касающийся частного случая электростатики

Фиг. 8.8. Каждый элемент объема dV=dxdydz в электриче­ском поле содержит в себе энер­гию (e₀/2) E²dV.

Энергия заключена в том пространстве, где имеется электрическое поле. Это, ви­димо, вполне разумно, потому что известно, что, ускоряясь, заряды излучают электрические поля. И когда свет или радио­волны распространяются от точки к точке, они переносят с со­бой свою энергию. Но в этих волнах нет зарядов. Так что энер­гию хотелось бы размещать там, где есть электромагнитное поле, а не там, где есть заряды, создающие это поле. Таким об­разом, мы описываем энергию не на языке зарядов, а на языке создаваемых ими полей. Действительно, мы можем показать, что уравнение (8.28) численно совпадает с

(8.30)

Эту формулу можно толковать, говоря, что в том месте простран­ства, где присутствует электрическое поле, сосредоточена и энергия; плотность ее (количество энергии в единице объема) равна

(8.31)

Эта идея иллюстрируется фиг. 8.8.

Чтобы показать, что уравнение (8.30) согласуется с нашими законами электростатики, начнем с того, что введем в уравне­ние (8.28) соотношение между r и j, полученное в гл. 6:

Получим

(8.32)

Расписав покомпонентно подынтегральное выражение, мы

увидим, что

А наш интеграл энергий тогда равен

С помощью теоремы Гаусса второй интеграл можно превратить в интеграл по поверхности:

(8.34)

Этот интеграл мы подсчитаем для того случая, когда поверх­ность простирается до бесконечности (так что интеграл по объе­му обращается в интеграл по всему пространству), а все заряды расположены на конечном расстоянии друг от друга. Проще всего это сделать, взяв поверхность сферы огромного радиуса с центром в начале координат. Мы знаем, что вдали от всех заря­дов j изменяется как 1/R, a Сj как 1/R². (И даже быстрее, если суммарный заряд нуль.) Площадь же поверхности большой сферы растет только как R², так что интеграл по поверхности убывает по мере возрастания радиуса сферы как

(1/R)(1/R²)/R²= (1/R). Итак, если наше интегрирование захватит собой все пространство (R® Ґ), то поверхностный интеграл обратится в нуль, и мы обнаружим

(8.35)

Мы видим, что существует возможность представить энергию произвольного распределения зарядов в виде интеграла от плотности энергии, сосредоточенной в поле.

§ 6. Энергия точечного заряда

Новое соотношение (8.35) говорит нам, что даже у отдель­ного точечного заряда q имеется какая-то электростатическая энергия. Поле в этом случае дается выражением

так что плотность энергии на расстоянии r от заряда равна

За элемент объема можно принять сферический слой толщиной dr, по площади равный 4pr². Полная энергия будет

(8.36)

Верхний предел г=Ґ не приводит к затруднениям. Но раз заряд точечный, то мы намерены интегрировать до самого нуля (r=0), а это означает бесконечность в интеграле. Уравнение (8.35) утверждает, что в поле одного точечного заряда содер­жится бесконечно много энергии, хотя начали мы с представле­ния о том, что энергия имеется только между точечными заря­дами. В нашу первоначальную форму для энергии совокупно­сти точечных зарядов (8.3) мы не включили никакой энергии взаимодействия заряда с самим собой. Что же потом случилось? А то, что, переходя в уравнении (8.27) к непрерывному распределению зарядов, мы засчитывали в общую сумму взаимодей­ствие всякого бесконечно малого заряда со всеми прочими беско­нечно малыми зарядами. Тот же учет велся и в уравнении (8.35), так что, когда мы применяем его к конечному точечному заряду, мы включаем в интеграл энергию, которая понадобилась бы, чтобы накопить этот заряд из бесконечно малых частей. И действи­тельно, вы могли заметить, что результат, следующий из урав­нения (8.36), мы могли бы получить также из выражения (8.11) для энергии заряженного шара, устремив его радиус к нулю.

Мы вынуждены прийти к заключению, что представление о том, будто энергия сосредоточена в поле, не согласуется с пред­положением о существовании точечных зарядов. Один путь преодоления этой трудности — это говорить, что элементарные заряды (такие, как электрон) на самом деле вовсе не точки, а не­большие зарядовые распределения. Но можно говорить и обрат­ное: неправильность коренится в нашей теории электричества на очень малых расстояниях или в нашем представлении о со­хранении энергии в каждом месте порознь. Но каждая такая точка зрения все равно встречается с затруднениями. И их ни­когда еще не удавалось преодолеть; существуют они и по сей день. Немного позже, когда мы познакомимся с некоторыми до­полнительными представлениями, такими, как импульс электро­магнитного поля, мы более подробно поговорим об этих основ­ных трудностях в нашем понимании природы

Глава 9

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО В АТМОСФЕРЕ

§1. Градиент электрического потенциала в атмосфере

§2. Электрические токи в атмосфере

§3. Происхождение токов в атмосфере

§4. Грозы

§5. Механизм разделения зарядов

§6. Молния

§ 1. Градиент электрического потенциала в атмосфере

В обычный день над пустынной равниной или над морем электрический потенциал по мере подъема возрастает с каждым метром примерно на 100 в. В воздухе имеется вертикальное элект­рическое поле Е величиной 100 в/м. Знак поля отвечает отрицательному заряду земной поверх­ности. Это означает, что на улице потенциал на уровне вашего носа на 200 в выше, чем потен­циал на уровне пяток! Можно, конечно, спро­сить: «Почему бы не поставить пару электродов на воздухе в метре друг от друга и не использо­вать эти 100 в для электрического освещения?» А можно и удивиться: «Если действительно между моим носом и моей пяткой имеется напря­жение 200 в, то почему же меня не ударяет то­ком, как только я выхожу на улицу?»

Сперва ответим на второй вопрос. Ваше те­ло — довольно хороший проводник. Когда вы стоите на земле, вы вместе с нею образуете эк­випотенциальную поверхность. Обычно экви­потенциальные поверхности параллельны земле (фиг. 9.1, а), но когда на земле оказываетесь вы, то они смещаются, и поле начинает выглядеть примерно так, как показано на фиг. 9.1, б. Так что разность потенциалов между вашей ма­кушкой и пятками почти равна нулю. С земли на вашу голову переходят заряды и изменяют поле вокруг вас. Часть из них разряжается ионами воздуха, но ионный ток очень мал, ведь воздух плохой проводник.

Как же измерить такое поле, раз оно иска­жается от всего, что в него попадает? Имеется несколько способов. Один способ — располо­жить изолированный проводник на какой-то высоте над землей и не трогать его до тех пор, пока он не приобретет потенциал воздуха.

Фиг. 9.1. Распределение потенциала.

а — над землей; б — около человека, стоящего на ровном месте.

Если подождать довольно долго, то даже при очень малой проводимости воз­духа заряды стекут с проводника (или натекут на него), уравняв его потенциал с потенциалом воздуха на этом уровне. Тогда мы можем опустить его к земле и измерить изменение его потенциала. Другой более быстрый способ — в качестве провод­ника взять ведерко воды, в котором имеется небольшая течь. Вытекая, вода уносит излишек заряда, и ведерко быстро приобретает потенциал воздуха. (Заряды, как вы знаете, растека­ются по поверхности, а капли воды — это уходящие «куски по­верхности».) Потенциал ведра можно измерить электрометром.

Имеется еще способ прямого измерения градиента потенциа­ла. Раз существует электрическое поле, то должен быть и поверхностный заряд на земле (0 = e₀Е). Если мы поместим у по­верхности земли плоскую металлическую пластинку А и зазем­лим ее, то на ней появятся отрицательные заряды (фиг. 9.2, а). Если затем прикрыть пластинку другой заземленной проводя­щей крышкой В, то заряды появятся уже на крышке В, а на пластинке А исчезнут. Если мы измерим заряд, перетекающий с пластинки А на землю (скажем, с помощью гальванометра в цепи заземляющего провода) в тот момент, когда А закрывают крышкой, то мы найдем плотность поверхностного заряда, быв­шего на А, а значит, и электрическое поле.

Рассмотрев способы измерения электрического поля в ат­мосфере, продолжим теперь его описание. Измерения прежде всего показывают, что с увеличением высоты поле продолжает существовать, только становится слабее. На высоте примерно 50 км поле уже еле-еле заметно, так что большая часть измене­ния потенциала (интеграла от Е) приходится на малые высоты. Вся разность потенциалов между поверхностью земли и верхом атмосферы равна почти

400 000 в.

Фиг. 9.2. Заземленная металлическая пла­стинка обладает тем же поверхностным зарядом, что и земля (а); если пластинка прикрыта сверху заземленным проводником, на ней заряда нет (б).

§ 2. Электрические токи в атмосфере

Помимо градиента потенциала, можно измерять и другую величину — ток в атмосфере. Плотность его мала: через каждый квадратный метр, параллельный земной поверхности, проходит около 10^-6 мка. Воздух, по-видимому, не идеальный изолятор; из-за этой проводимости от неба к земле все время течет слабый ток, вызываемый описанным нами электрическим полем.

Почему атмосфера имеет проводимость? Потому что в ней среди молекул воздуха попадаются ионы, например, молекулы кислорода, порой снабженные лишним электроном, а порой ли­шенные одного из своих. Эти ионы не остаются одинокими; бла­годаря своему электрическому полю они обычно собирают близ себя другие молекулы. Каждый ион тогда становится маленьким комочком, который вместе с другими такими же комочками дрейфует в поле, медленно двигаясь вверх или вниз, создавая ток, о котором мы говорили.

Откуда же берутся ионы! Сперва думали, что ионы создает радиоактивность Земли. (Было известно, что излучение радио­активных веществ делает воздух проводящим, ионизуя молеку­лы воздуха.) Частицы, выходящие из атомного ядра, скажем. b-лучи, движутся так быстро, что они вырывают электроны у атомов, оставляя за собой дорожку из ионов.

Фиг. 9.3. Намерение проводимости воздуха, вызываемой движением ионов.

Такой взгляд, конечно, предполагает, что на больших высотах ионизация должна была бы становиться меньше, потому что вся радиоак­тивность — все следы радия, урана, натрия и т. д.— находится в земной пыли.

Чтобы проверить эту теорию, физики поднимались на воз­душных шарах и измеряли ионизацию (Гесс, в 1912 г.). Выяс­нилось, что все происходит как раз наоборот — ионизация на единицу объема с высотой pacmem! (Прибор был похож на изо­браженный на фиг. 9.3. Две пластины периодически заряжались до потенциала V. Вследствие проводимости воздуха они медлен­но разряжались; быстрота разрядки измерялась электрометром.) Этот непонятный результат был самым потрясающим открытием во всей истории атмосферного электричества. Открытие было столь важно, что потребовало выделения новой отрасли науки — физики космических лучей. А само атмосферное электричество осталось среди явлений менее удивительных. Ионизация, види­мо, порождалась чем-то вне Земли; поиски этого неземного ис­точника привели к открытию космических лучей. Мы не будем сейчас говорить о них и только скажем, что именно они поддер­живают снабжение воздуха ионами. Хотя ионы постоянно уно­сятся, космические частицы, врываясь из мирового простран­ства, то и дело сотворяют новые ионы.

Чтобы быть точными, мы должны отметить, что, кроме ионов, составленных из молекул, бывают и другие сорта ионов. Мель­чайшие комочки почвы, подобно чрезвычайно тонким частичкам пыли, плавают в воздухе и заряжаются. Их иногда называют «ядрами». Скажем, когда в море плещутся волны, мелкие брызги взлетают в воздух. Когда такая капелька испарится, в воздухе остается плавать маленький кристаллик NaCl. Затем эти крис­таллики могут привлечь к себе заряды и стать ионами; их назы­вают «большими ионами».

Малые ионы, т. е. те, которые создаются космическими луча­ми, самые подвижные. Из-за того, что они очень малы, они быст­ро проносятся по воздуху, со скоростью около 1 см/сек в поле 100 в/м, или 1 в/см. Большие и тяжелые ионы движутся куда медленнее. Оказывается, что если «ядер» много, то они перехва­тывают заряды от малых ионов. Тогда, поскольку «большие ионы» движутся в поле очень медленно, общая проводимость уменьшается. Поэтому проводимость воздуха весьма перемен­чива — она очень чувствительна к его «засоренности». Над су­шей этого «сора» много больше, чем над морем, ветер подымает с земли пыль, да и человек тоже всячески загрязняет воздух. Нет ничего удивительного в том, что день ото дня, от момента к моменту, от одного места к другому проводимость близ земной поверхности значительно меняется. Электрическое поле в каж­дой точке над земной поверхностью тоже меняется, потому что ток, текущий сверху вниз, в разных местах примерно одинаков, а изменения проводимости у земной поверхности приводят к вариациям поля.

Проводимость воздуха, возникающая в результате дрейфа ионов, также быстро увеличивается с высотой. Происходит это по двум причинам. Во-первых, с высотой растет ионизация воз­духа космическими лучами. Во-вторых, по мере падения плот­ности воздуха увеличивается свободный пробег ионов, так что до столкновения им удается дальше пройти в электрическом по­ле. В итоге на высоте проводимость резко подскакивает.

Сама плотность электрического тока в воздухе равна всего нескольким микромикроамперам на квадратный метр, но ведь на Земле очень много таких квадратных метров. Весь электри­ческий ток, достигающий земной поверхности, равен примерно 1800 а. Этот ток, конечно, «положителен» — он переносит к Зем­ле положительный заряд. Так что получается ток в 1800 а при напряжении 400 000 в. Мощность 700 Мвт!

При таком сильном токе отрицательный заряд Земли должен был бы вскоре исчезнуть. Фактически понадобилось бы только около получаса, чтобы разрядить всю Землю. Но с момента от­крытия в атмосфере электрического поля прошло куда больше получаса. Как же оно держится? Чем поддерживается напря­жение? И между чем и чем оно? На одном электроде Земля, а что на другом? Таких вопросов множество.

Земля заряжена отрицательно, а потенциал в воздухе поло­жителен. На достаточно большой высоте проводимость так велика, что вероятность изменений напряжения по горизонтали становится равной нулю. Воздух при том масштабе времени, о котором сейчас идет речь, фактически превращается в провод­ник. Это происходит на высоте около 50 км. Это еще не так вы­соко, как то, что называют «ионосферой», где имеется очень боль­шое количество ионов, образуемых за счет фотоэффекта от сол­нечных лучей. Для наших целей можно, обсуждая свойства атмосферного электричества, считать, что на высоте примерно 50 км воздух становится достаточно проводящим и там су­ществует практически проводящая сфера, из которой вытекают вниз токи. Положение дел изображено на фиг. 9.4. Вопрос в том, как держится там положительный заряд. Как он накачивается обратно?

Фиг. 9.4. Типичные характеристики элек­трических свойств чис­той атмосферы.

Раз он стекает на Землю, то должен же он как-то перекачиваться обратно? Долгое время это было одной из главных загадок атмосферного электричества.

Любая информация на этот счет может дать ключ к загадке или, по крайней мере, хоть что-то сообщить о ней. Вот одно интересное явление: если мы измеряем ток (а он, как мы знаем, устойчивее, чем градиент потенциала), скажем над морем, и при тщательном соблюдении предосторожностей, очень аккурат­но все усредняем и избавляемся от всяких ошибок, то мы обна­руживаем, что остаются все же какие-то суточные вариации. Среднее по многим измерениям над океанами обладает времен­ной вариацией примерно такой, какая показана на фиг. 9.5. Ток меняется приблизительно на ±15% и достигает наиболь­шего значения в 7 часов вечера по лондонскому времени. Самое странное здесь то, что, где бы вы ни измеряли ток — в Атланти­ческом ли океане, в Тихом ли или в Ледовитом, — его часы пик бывают тогда, когда часы в Лондоне показывают 7 вечера! По­всюду во всем мире ток достигает максимума в 19.00 по лондон­скому времени, а минимума — в 4.00 по тому же времени. Ины­ми словами, ток зависит от абсолютного земного времени, а не от местного времени в точке наблюдения.

Фиг. 9.5. Средняя су­точная вариация гради­ента потенциала атмос­феры в ясную погоду над океанами.

В одном отношении это все же не так уж странно; это вполне сходится с нашим пред­ставлением о том, что на самом верху имеется очень большая го­ризонтальная проводимость, которая и исключает местные изменения разности потенциалов между Землей и верхом. Любые изменения потенциала должны быть всемирными, и так оно и есть. Итак, теперь мы знаем, что напряжение «вверху» с изме­нением абсолютного земного времени то подымается, то падает на 15%.

§ 3. Происхождение токов в атмосфере

Теперь нужно ответить на вопрос об источнике больших отрицательных токов, которые должны течь от «верха» к земной поверхности, чтобы поддержать ее отрицательный заряд. Где же те батареи, которые это делают? «Батарея» показана на фиг. 9.6. Это гроза или вернее молнии. Оказывается, вспышки молний не «разряжают» той разности потенциалов, о которой мы говорили (и как могло бы на первый взгляд показаться). Молнии снабжают Землю отрицательным зарядом. Если мы увидали молнию, то можно поспорить на десять против одного, что она привела на Землю большое количество отрицательных зарядов. Именно грозы заряжают Землю в среднем током в 1800 а элект­ричества, которое затем разряжается в районах с хорошей по­годой.

На Земле каждые сутки гремит около 300 гроз. Их-то и мож­но считать теми батареями, которые накачивают электричество в верхние слои атмосферы и сохраняют разность потенциалов. А теперь учтите географию — полуденные грозы в Бразилии, тропические — в Африке и т. д. Ученые сделали оценки того, сколько молний ежесекундно бьет в Землю; нужно ли говорить, что их оценки более или менее согласуются с измерениями разности потенциалов: общая степень грозовой деятельности достигает на всей Земле максимума в 19.00 по лондонскому вре­мени. Однако оценки грозовой деятельности делать очень трудно; сделаны они были только после того, как стало известно, что та­кие вариации должны существовать. Трудность заключается в том, что в океанах, да и повсюду в мире не хватает наблюдений, их мало, чтобы точно установить число гроз. Но те ученые, ко­торые думают, что они «все учли правильно», уверяют, что мак­симум деятельности приходится на 19.00 по гринвичскому сред­нему времени.

Чтобы понять, как работают эти батареи, попробуем разоб­раться в грозе поглубже. Что происходит внутри грозы? Опишем грозу так, как ее сейчас представляют. Когда мы вникаем в не­обыкновенное явление природы (а не в эти столь изящно нами разобранные идеальные сферы из идеальных проводников, по­мещенных внутри других сфер), мы открываем, что не так уж много знаем.

Фиг. 9.6. Механизм, создающий электрическое поле атмосферы.

А это все очень интересно. Гроза не оставляет че­ловека равнодушным: она пугает его или восхищает; в общем возбуждает в нем какие-то чувства. А там, где в природе появ­ляются чувства, обычно сразу всплывает и сложность природы и ее таинственность. Нет никакой возможности точно описать, как происходит гроза, мы пока мало об этом знаем. Но мы все же попробуем немножко рассказать о том, что происходит.

§ 4. Грозы

1 Прежде всего следует сказать, что обычная гроза состоит из множества «ячеек», тесно примыкающих друг к другу, но почти независимых. Поэтому достаточно проанализировать одну из них. Под «ячейкой» мы подразумеваем область (имеющую в горизонтальном направлении ограниченную протяженность), в которой происходят все основные процессы. Обычно имеется несколько ячеек, расположенных одна возле другой, а в каждой из них творится примерно одно и то же, разве что с некоторым сдвигом во времени. На фиг. 9.7 в идеализированном виде представлена ячейка в начальный период грозы. Оказывается, что в воздухе в некотором месте и при некоторых условиях (мы их вскоре опишем) существует восходящий ток, все более убы­стряющийся по мере подъема. Теплый и влажный воздух снизу подымается, остывает и конденсирует влагу.

Фие. 9.7. Грозовая ячейка в ранней стадии развития.

Фиг. 9.8. Температура ат­мосферы.

а — статическая атмосфера; b — адиабатическое охлаждение сухого воздуха; с — адиабатическое охлаж­дение влажного воздуха; а — влаж­ный воздух с какой-то примесью окружающего воздуха.

На рисунке крести­ки означают снег, а точки — дождь, но поскольку восходящий ток довольно велик, а капельки очень малы, то на этой стадии ни снег, ни дождь не выпадают. Это начальная стадия, и пока это еще не настоящая гроза, в том смысле, что внизу вообще не видно, чтобы что-нибудь происходило. По мере того как теплый воздух подымается вверх, в ячейку прибывает воздух со всех сторон (весьма важное обстоятельство, которым долго пренеб­регали). Так что подымается не только тот воздух, который был внизу, но и какое-то количество другого воздуха — с разных сторон.

Отчего воздух вот так поднимается? Как вы знаете, наверху воздух прохладнее. Солнце нагревает почву, а водяной пар в верхних слоях атмосферы излучает тепло вверх; поэтому на больших высотах воздух холодный, а внизу теплый. Вы можете сказать: «Тогда все очень просто. Теплый воздух легче холод­ного; поэтому вся эта комбинация механически неустойчива, и теплый воздух поднимается». Конечно, если температура на разных высотах разная, то воздух действительно термоди­намически неустойчив. Предоставленный самому себе надолго, весь воздух примет одинаковую температуру. Но он не предо­ставлен самому себе; весь день светит солнце. Так что проблема касается не только термодинамического, но и механического равновесия. Пусть мы начертили, как на фиг. 9.8, кривую зави­симости температуры воздуха от высоты. В обычных условиях получается убывание по кривой типа а; по мере подъема темпе­ратура падает. Как же атмосфера может быть устойчивой? По­чему бы теплому воздуху просто не подняться к холодному? Ответ состоит в том, что если бы воздух начал подниматься, то давление в нем упало бы, и, рассматривая определенную пор­цию поднимающегося воздуха, мы бы увидели, что она адиаба­тически расширяется. (Тепло не уходило бы из нее и не приходило бы, потому что из-за огромных размеров не хватило бы вре­мени для больших передач тепла.) Итак, порция воздуха при подъеме охладится. Такой адиабатический процесс привел бы к такой зависимости температура — высота, как показано кривой b на

фиг. 9.8. Любой воздух, поднимающийся снизу, оказался бы холоднее, чем то место, куда он направляется. Так что теплому воздуху снизу нет резона идти вверх; если бы он всплыл, то остыл бы и стал холоднее того воздуха, который уже там есть; он оказался бы тяжелее этого воздуха, и ему бы захотелось сра­зу обратно вниз. В хороший, ясный денек, когда влажность невелика, устанавливается какая-то быстрота падения темпера­туры с высотой, и эта быстрота, вообще говоря, ниже «макси­мального устойчивого перепада», представляемого кривой b. Воздух находится в устойчивом механическом равновесии.

Но, с другой стороны, если мы возьмем воздушную ячейку, содержащую много водяных паров, то кривая ее адиабатичес­кого охлаждения будет совсем другой. При расширении и ох­лаждении этой ячейки водяной пар начнет конденсироваться, а при конденсации выделяется тепло. Поэтому влажный воздух остывает не так сильно, как сухой. Значит, когда воздух, влаж­ность которого выше средней, начнет подниматься, его темпе­ратура будет следовать кривой с на фиг. 9.8. Слегка охлаждаясь при подъеме, он все же окажется теплее окружающего его на этой высоте воздуха. Если имеется область теплого влажного воздуха и он почему-то начинает подниматься, то он все время будет оставаться легче и теплее окружающего воздуха и по-прежнему будет всплывать, пока не достигнет огромных высот. Вот тот механизм, который заставляет воздух в грозовой ячейке подниматься.

В течение многих лет именно так объясняли грозовую ячей­ку. А затем измерения показали, что температура облака на различных уровнях над Землей не так высока, как это следует из кривой с. Причина в том, что, когда «пузырь» влажного воз­духа всплывает, он уносит с собой воздух из окружающей среды и охлаждается им. Кривая «температура — высота» похожа больше на кривую d, которая гораздо ближе к первоначальной кривой а, нежели к с.

После того как описанная конвекция началась, поперечный разрез грозовой ячейки выглядит уже так, как показано на фиг. 9.9. Это так называемая «зрелая» гроза. В ней действует очень сильная тяга вверх, достигающая на этой стадии высот в 10—15 км, а иногда и выше. Грозовой купол с происходящей в нем конденсацией громоздится надо всей облачной грядой с быст­ротой, достигающей обычно 60 км/час. По мере того как водяной пар поднимается и конденсируется, возникают крохотные ка­пельки, которые быстро охлаждаются до температуры ниже нуля. Они должны замерзнуть, но делают это не сразу — они «переохлаждаются».

Фиг. 9.9. Созревшая грозовая ячейка.

Вода, да и другие жидкости обычно легко охлаждаются ниже своей точки замерзания, не кристаллизуясь, если только вокруг нет «ядер», которые необходимы, чтобы на­чалась кристаллизация. Только если имеются мелкие крошки вещества, наподобие кристалликов NaCl, капельки воды пре­вратятся в льдинки. Тогда равновесие будет приводить к испа­рению капель и росту кристаллов льда. Итак, в какой-то мо­мент начинается внезапное исчезновение воды и быстрое обра­зование льда. Кроме того, могут происходить прямые соударения водяных капелек и льдинок — столкновения, в которых пе­реохлажденная вода, прикоснувшись к кристаллику льда, мгно­венно сама кристаллизуется. Стало быть, в какой-то момент раз­вития облака в нем происходит быстрое накопление крупных частиц льда.

И когда они станут достаточно тяжелыми, они начнут па­дать сквозь восходящий воздух, ибо они стали слишком груз­ными, чтобы тяга могла их нести. Падая, они увлекут за собой немного воздуха. Начинается противоток воздуха — вниз. И легко понять, что, как это ни странно, раз уж противоток на­чался, то прекратиться он не сможет. Воздух теперь полным хо­дом помчится вниз!

Посмотрите: кривая d на фиг. 9.8 (истинное распределение температур по высоте облака) не так крута, как кривая с (от­носящаяся к влажному воздуху). Значит, когда начнет падать влажный воздух, его температура будет повышаться по кривой, соответствующей кривизне линии с, т. е. при достаточно сильном падении окажется ниже температуры окружающего воздуха (как это видно из кривой е). И в момент, когда это случится, он окажется плотнее окружающего воздуха, падение станет неот­вратимым.

Но вы скажете: «Уж не вечное ли это движение? Сперва го­ворилось, что воздух должен подниматься, а когда вы его под­няли, то одинаково убедительно принимаетесь доказывать, что ему положено падать». Нет, это не вечное движение. Когда по­ложение неустойчиво и теплый воздух вынужден подниматься, тогда, естественно, что-то должно его заместить. Не менее верно и то, что спускающийся холодный воздух был бы в состоянии энергетически заместить теплый воздух. Но поймите, что то, что спустилось вниз,— это уже не тот воздух, который был вна­чале. Давние рассуждения, в которых шла речь об изолирован­ном облаке, сперва подымавшемся, а затем спускающемся, содержали в себе какую-то загадку. Нужен был дождь, чтобы обеспечить спуск, а этот способ был мало правдоподобен. Но как только вы поняли, что к восходящему потоку воздуха приме­шан воздух, бывший вначале на той высоте, откуда началась тяга, термодинамические соображения покажут вам, что падение холодного воздуха, первоначально плававшего на больших высотах, тоже возможно. Это и объясняет картину активной грозы, представленную схематически на фиг. 9.9.

Фиг. 9.10, Поздняя фаза грозовой ячейки.

Когда воздух доходит донизу, из нижней части тучи начи­нает идти дождь. Вдобавок, достигнув земной поверхности, от­носительно холодный воздух растекается во все стороны. Значит, перед самой грозой начинается холодный ветер, предупреждаю­щий нас о предстоящей буре. Во время самой бури наблюдаются резкие и внезапные порывы ветра, облака клубятся и т. д. Но в основном сперва существует ток, текущий вверх, потом про­тивоток вниз — картина, вообще говоря, очень сложная.

В то же мгновение, когда начинаются осадки, возникает и противоток. И в тот же самый момент обнаруживаются электри­ческие явления. Но прежде чем описать молнию, мы закончим рассказом о том, что творится в грозовой ячейке через полчаса или, скажем, через час. Она выглядит так, как показано на фиг. 9.10. Тяга вверх прекратилась — больше нет теплого воз­духа, и поддерживать ее нечем. Какое-то время еще продолжа­ются осадки, последние капельки воды падают на землю, все становится спокойнее, хотя часть льдинок еще осталась в воздухе. На больших высотах ветры дуют в разные стороны, поэтому верх грозовой тучи обычно начинает принимать вид наковальни. Ячейке пришел конец.

§ 5. Механизм распределения зарядов

Теперь мы хотим обратиться к обсуждению самой важной для нас стороны дела — к возникновению электрических заря­дов. Разного рода эксперименты, включая полеты сквозь грозо­вой фронт (пилоты, совершающие их — истинные храбрецы!), выяснили, что распределение зарядов в грозовой ячейке напоминает изображенное на фиг. 9.11. Верхушка грозы заряжена положительно, а низ — отрицательно, за исключением неболь­шого участка положительных зарядов в нижней части тучи, при­чинившего немало забот исследователям. Никто не знает, поче­му он там появляется и насколько он важен, то ли это всего лишь вторичный эффект положительного дождя, то ли сущест­венная часть всего механизма. Если б этого не было, все выгля­дело бы значительно проще. Во всяком случае преимущест­венно отрицательный заряд внизу и положительный навер­ху — это как раз такое расположение полюсов батареи, которое может зарядить Землю отрицательно. Положительные заряды находятся в 6—7 км над Землей, где температура достигает -20°C, а отрицательные — на высоте 3—4 км, и температура там от 0 до -10°C.

Заряда нижней части тучи хватает на то, чтобы создать между ней и землей разность потенциалов в 20, 30 и даже 100 млн. в — несравненно больше, чем те 0,4 млн. в перепада, которые бывают между «небом» и Землей при ясном небе.

Фиг. 9.11. Распределение электричества в созревшей грозовой ячейке.

Эти огромные напряжения пробивают воздух и создают гигантский грозовой разряд. При пробое отрицательный заряд с нижней части тучи переносится зигзагами молнии на Землю.

А теперь мы в нескольких словах опишем строение молнии. Прежде всего имеется настолько большой перепад потенциалов, что воздух пробивается. Молния бьет между одной частью тучи и другой, или между одной тучей и другой, или между тучей и Землей. С каждой независимой вспышкой — с каждым ударом молнии, который вы видите, с небес низвергается 20—30 кулон электричества. Интересно, сколько же времени тратит туча на восстановление этих 20—30 кулон, уходящих с молнией? Это можно выяснить, измеряя вдали от тучи электрическое поле, вызываемое дипольным моментом тучи. При таких измерениях вы видите внезапный спад поля при ударе молнии, а затем экспо­ненциальный возврат к первоначальному его значению с ха­рактерной временной постоянной порядка 5 сек, немного меняю­щейся от случая к случаю. Значит, грозе достаточно 5 сек, чтобы восстановить весь свой заряд. Но это, конечно, не означает, что очередная молния ударит точно через 5 сек, потому что меняется и геометрия туч и другие факторы.

Фиг. 9.12. Струя воды с электри­ческим полем, созданным вблизи насадки шланга.

Вспышки следуют друг за другом нерегулярно, но существенно то, что возвраще­ние к начальным условиям всегда происходит примерно за 5 сек. Следовательно, в грозовой динамомашине течет ток при­мерно в 4 а. А это означает, что любая модель, придуманная для объяснения того, как грозовой вихрь генерирует электричество, должна быть очень мощной — это должна быть огромная быст­родействующая махина.

Прежде чем двинуться дальше, рассмотрим кое-что, почти наверняка не имеющее никакого отношения к излагаемому пред­мету, но тем не менее само по себе любопытное, так как это де­монстрирует влияние электрического поля на водяные капли. Мы говорим, что это может и не иметь отношения, потому что связано с опытом, который можно проделать в лаборатории со струйкой воды и который показывает довольно сильное действие электричества на капельки. В грозе же нет никаких водяных струй; там просто имеется туча сконденсированного льда и ка­пель воды. Так что вопрос о механизмах, действующих в грозе, по всей вероятности, никак не связан со всем тем, что вы увидите в том простом опыте, который мы хотим описать. Насадите на водопроводный кран шланг с суженным концом и направьте струю воды из него под крутым углом (фиг. 9.12). Вода забьет тонкой струйкой и, вероятно, начнет разбрызгиваться мелкими капельками. Если поперек струи навести электрическое поле (скажем, заряженной палочкой), то форма струи изменится. При слабом электрическом поле вы увидите, что струя разби­вается на несколько больших капель, а при сильном поле струя разбрызгивается на много-много мельчайших капелек, гораздо более мелких, чем прежде. У слабого электрического поля есть тенденция воспрепятствовать дроблению струи на капли, а сильное, напротив, стремится раздробить поток.

Эти эффекты, по всей видимости, можно объяснить следую­щим образом. Когда из шланга бьет вода и мы приложили по­перек небольшое поле, то одна сторона струи может зарядиться чуть-чуть более положительно, а другая — чуть-чуть более отрицательно. И потом, когда струя дробится, капли с одной стороны струи могут стать положительно заряженными, а с дру­гой — отрицательно заряженными. Они начнут притягиваться и захотят сливаться в более крупные, чем прежде, капли. Струя не будет сильно дробиться. Если же поле увеличить, то заряд на каждой отдельной капле станет очень большим, и сам заряд будет стремиться измельчать капли (из-за их отталкивания). Каждая капелька разделится на более мелкие (и тоже заряжен­ные), они начнут отталкиваться, и посыплются брызги. Итак, при нарастании поля струйка дробится все мельче. Единствен­ное, что нам хотелось бы подчеркнуть,— это что при некоторых обстоятельствах электрическое поле может сильно сказываться на каплях. Точный механизм того, что происходит в грозе, не­известен, и совсем не обязательно связывать его с только что описанным. Мы включили это описание лишь для того, чтобы вы оценили сложность явлений, которые могут играть роль. На самом деле ни у кого из ученых нет теории, основанной на таком представлении.

Мы хотели бы привести две теории, изобретенные для объяс­нения разделения зарядов в грозе. Обе они основаны на пред­ставлении о том, что на падающей частице должен существовать один заряд, а в воздухе — противоположный. Тогда при движе­нии падающей частицы (воды или льда) сквозь воздух возникает разделение электрических зарядов. Вопрос только в том, отчего начинается электризация? Одна из старейших теорий — это теория «дробления капель». Кто-то когда-то обнаружил, что если в потоке воздуха капли дробятся на части, то сами они за­ряжаются положительно, а воздух — отрицательно. У этой тео­рии есть несколько недостатков, самый серьезный из которых — что знак получается не тот. Кроме того, в большей части гроз умеренного пояса, сопровождаемых молниями, осадки на боль­ших высотах бывают не в виде воды, а в виде льда.

Из только что сказанного следует, что если б мы могли пред­ставить себе способ сделать так, чтобы верх и низ капли были наэлектризованы по-разному, и если б мы усмотрели какой-то резон для капель разбиваться в быстром потоке воздуха на не­равные части — большую впереди, а меньшую позади (ну, ска­жем, из-за движения сквозь воздух или из-за чего-то подобно­го), то и у нас появилась бы своя теория (отличная от всех из­вестных!). Тогда из-за сопротивления воздуха крупные капли при падении отставали бы от мелких и вышло бы разделение зарядов.

Фиг. 9.13. Теория Ч. Вильсона о разделении зарядов в грозовой туче.

Как видите, можно измышлять любые возмож­ности.

Одна из самых остроумных теорий, во многом более удовлет­ворительная, чем теория дробящихся капель, принадлежит Вильсону. Описывая ее, мы, как и сам Вильсон, будем говорить о каплях, хотя все это относится в равной мере и ко льду. Пусть у нас имеется водяная капелька, падающая в электрическом поло напряженностью 100 в/м к отрицательно заряженной земле. У капли появится наведенный дипольный момент — положи­тельный заряд внизу, отрицательный наверху (фиг. 9.13). Кро­ме этого, в воздухе имеются «ядра», о которых мы уже говори­ли,— большие неторопливо движущиеся ионы. (Быстрые ионы не окажут здесь заметного влияния.) Предположим, что на своем пути вниз капля приблизилась к большому иону. Если он сам положителен, то положительный заряд низа капли оттолк­нет его, и он отойдет в сторону. Так что, собственно, капля даже не соприкоснется с ним. Если же ион приблизится к капле свер­ху, он может притянуться к ней. Но капля падает сквозь воздух, и воздух проносится мимо нее вверх, унося с собой ионы (если только они движутся достаточно медленно). Так что положи­тельные ионы не успевают коснуться верхушки капли. Все это относится, как видите, только к крупным, малоподвижным ионам. Положительные ионы такого сорта не смогут соприкасать­ся ни с нижней, ни с верхней поверхностью летящей капельки. Но когда крупные, медленные, отрицательные ионы входят в соприкосновение с каплей, она их притягивает к себе и захва­тывает. На капле накапливается отрицательный заряд (знак за­ряда определяется исходной разностью потенциалов всей Земли и получается как раз тот, какой нам нужен). Отрицатель­ный заряд будет перенесен каплями в нижнюю часть тучи, а положительные ионы, брошенные по дороге, будут сдуты к ее вер­хушке различными восходящими потоками. Теория выглядит довольно мило и, во всяком случае, дает правильные знаки.

К тому же она не зависит от того, град ли у нас или капли дож­дя. Мы увидим, когда будем изучать поляризацию диэлектри­ков, что с льдинками должно происходить то же самое. У них тоже в электрическом поле будут появляться на концах поло­жительные и отрицательные заряды.

Однако и эта теория оставляет какие-то неясности. Во-пер­вых, суммарный заряд грозы очень велик. Довольно быстро весь запас больших ионов израсходуется. Вильсон и другие вынуждены были предположить, что существуют добавочные источники больших ионов. Как только начинается разделение зарядов, развиваются очень сильные электрические поля, и в этих полях могут быть места, где воздух ионизуется. Если там имеется сильно заряженная точка или любой небольшой объект наподобие капли, то они могут сконцентрировать вокруг себя поле, достаточно большое для того, чтобы возник «кистевой разряд». Когда имеется достаточно сильное поле, скажем по­ложительное, то электроны будут попадать в это поле и успе­вать набирать между столкновениями большую скорость. Она будет такой высокой, что, попадая в атомы, электроны будут срывать атомные электроны с их оболочки, оставляя позади себя положительные ионы. Эти новые электроны тоже наберут ско­рость и, столкнувшись, породят еще больше новых электронов. Произойдет своего рода цепная реакция, или лавина, вызываю­щая быстрое накопление ионов. Положительные заряды оста­нутся невдалеке от своих прежних мест, так что чистый эффект состоит в распределении положительных зарядов в области вокруг исходной точки. При этом, конечно, сильное поле исчез­нет и процесс замрет. Таков характер кистевого разряда. Не исключено, что поля в "грозовой туче могут достичь такой вели­чины, что сколько-то там кистевых разрядов действительно возникнет; могут также быть и другие механизмы ионизации, включаемые, едва начнется гроза. Но никто точно не знает, как они действуют. Так что по-настоящему до конца происхождение молнии не понято. Мы знаем только, что молнии бывают от гро­зы (и знаем, конечно, что гром бывает от молнии — от тепловой энергии, высвобождаемой при вспышке молнии).

Но, по крайней мере, мы можем хоть отчасти понять происхож­дение атмосферного электричества. Из-за того, что во время гро­зы существуют воздушные течения, ионы и капли воды на льдин­ках — положительные и отрицательные заряды — разделяются. Положительные заряды уносятся вверх, к облачному куполу (см. фиг. 9.11), а отрицательные при ударах молнии скатываются на Землю. Положительные так и остаются на верхушке облака, входят в высокие слои хорошо проводящего воздуха и расходятся над всей Землей. В районах, где держится ясная погода положи­тельные заряды в этом слое медленно переводятся к земной по­верхности ионами в воздухе — ионами, образованными то ли космическими лучами, то ли всплесками волн и деятельностью человека. Атмосфера — это беспрерывно действующая электрическая машина!

§ 6. Молния

Первое свидетельство о том, что происходит при вспышке молнии, было получено в фотоснимках, сделанных камерой, ко­торую держали руками и перемещали при закрытом затворе, на­целиваясь туда, где ожидалась вспышка молнии. Первые полу­ченные таким способом фотографии явственно показали, что обычно удары молнии — это повторные разряды по одному и тому же пути. Позже была изобретена камера «Бойс», в которой две линзы смонтированы на быстро вращающемся диске под уг­лом 180° друг к другу. Изображение, даваемое каждой линзой, движется поперек пленки, картина развертывается во времени. Если, скажем, удар повторился, то на снимке появятся бок о бок два изображения. Сравнивая изображения от обеих линз, можно выяснить различные детали временной последователь­ности вспышек. На фиг. 9.14 показан снимок, сделанный такой камерой.

Расскажем о молнии подробнее, хотя мы и не понимаем точ­но, как она действует. Мы хотим дать качественное описание того, на что это похоже, но мы не будем входить в детали того, почему происходит то, что, по-видимому, происходит. Опишем обычный случай тучи с отрицательным дном, висящей над рав­ниной.

Фиг. 9.14. Снимок вспышки молнии, сделанный камерой «Бойс».

Фиг. 9.15. Образование ступенчатого лидера.

Ее потенциал намного более отрицателен, чем земная поверхность под нею, так что отрицательные электроны будут ускоряться по направлению к Земле. А происходит здесь вот что. Все начинается со светящегося комка, называемого «ступенча­тым лидером». Он не такой яркий, как сама вспышка молнии. На снимках можно видеть вначале небольшое светлое пятнышко, выходящее из тучи и очень быстро катящееся вниз со скоростью 1/6 скорости света! Но оно проходит всего около 50 м и останав­ливается. Следует пауза около 50 мксек, а затем происходит сле­дующий шаг. И за ним снова пауза, а после новый шаг и т. д. Так, шаг за шагом, пятно движется к Земле, по пути, похожему на то, что изображено на фиг. 9.15. В лидере имеются отрица­тельные заряды из тучи; весь столб полон отрицательного элект­ричества. Кроме того, воздух начинает ионизоваться быстро движущимися зарядами, образующими лидер, так что воздух вдоль отмеченного пути становится проводящим. В момент, ког­да лидер коснется грунта, получается проводящая «проволока», которая тянется до самой тучи и полна отрицательного электри­чества. Теперь, наконец, отрицательный заряд может запросто удрать из тучи. Первыми замечают это электроны, находящиеся в самом низу лидера; они соскакивают наземь, оставив позади себя положительный заряд, который притягивает новые отрица­тельные заряды из высших частей лидера; они тоже вывалива­ются наземь и т. д. В конце концов весь отрицательный заряд этой части тучи быстро и энергично сбежит по этому каналу вниз. Так что молния, которую вы видите, бьет от земли вверх

(фиг. 9.16). И, действительно, этот основной разряд — самая яркая часть разряда — называется обратной вспышкой. Она и вызывает яркое свечение и выделение тепла, которое, приводя к быстрому расширению воздуха, производит громовой удар.

Ток в пике молнии достигает 10 000 а и уносит около 20 ку­лон электричества.

Но мы еще не кончили. Спустя небольшой промежуток вре­мени, может быть, в несколько сотых секунды, когда обратная молния уже исчезла, вниз пикирует новый лидер. Но на этот раз уже без пауз, без остановок. Теперь его именуют «темным лидером», и весь путь сверху донизу он проходит одним брос­ком. Он мчится на всех парах в точности по прежнему следу, потому что вдоль следа хватает осколков атомов для того, чтобы этот путь оказался самым легким из всех путей. Новый лидер снова полон отрицательного электричества. И в мгновение, когда он касается почвы,— трах! — появляется обратная мол­ния, катящаяся по тому же пути. И вы видите, как молния бьет еще раз, и еще раз, и еще. Порой бывает только один-два удара, временами пять или десять (однажды видели 42 разряда по одному и тому же каналу), но всегда быстро следующих один за другим.

Временами все еще более усложняется. Скажем, после одной из остановок лидер может начать ветвиться, образовав две сту­пеньки — обе идут вниз, но не совсем в одном направлении (см. фиг. 9.15). Что затем случится, зависит от того, коснется ли одна из ветвей земли намного раньше другой. Если да, то яркая обратная молния (вспышка отрицательных зарядов, разгружае­мых наземь) прокладывает себе путь вверх вдоль ветви, которая коснулась земли, а когда на своем пути вверх достигает и про­скакивает начало другой ветви, то кажется, что яркая молния бьет вниз по этой другой ветви. Почему?

Фиг. 9.16. Обратная молния мчится по следу, проложенному лидером.

Потому что отрицатель­ное электричество ссыпается на землю, и это вызывает вспышку молнии. Этот заряд начинает двигаться в начале вторичной вет­ви, последовательно опорожняя ее дальнейшие участки, так что кажется, что яркая молния прокладывает себе путь вниз по этой ветви в то же самое время, как она движется вверх. Если, одна­ко, одна из этих добавочных ветвей лидера достигнет почвы почти вместе с самим лидером, то порой может случиться, что темный лидер повторной вспышки изберет себе путь по второй ветви. Тогда вы увидите первую главную вспышку в одном месте, а вторую — в другом. Это — вариант первоначальных представ­лений.

Кроме того, наше описание чересчур упрощает явления у са­мой земной поверхности. Когда ступенчатый лидер оказывается примерно в 100 м от почвы, то оттуда поднимается ему навстречу разряд. По-видимому, поле становится таким сильным, что мо­жет начаться разряд кистевого типа. Если, к примеру, в этом месте есть какой-то вытянутый предмет (дом с острием на кры­ше), то при приближении лидера поля так нарастают, что начи­нается разряд с этого острия, который достигает лидера. Молния стремится бить как раз в такие острия.

То, что молния бьет в высокие предметы, по-видимому, было известно давным-давно. Известно высказывание Артабана, советника Ксеркса. Артабан дает своему господину совет от­носительно предполагавшегося похода на греков, имевшего целью бросить весь известный тогда мир к ногам персов. Он говорит: «Взгляни, как Бог молниями своими всегда поражает крупных животных и не позволяет им становиться дерзкими, а существа меньших размеров не раздражают Его. И как молнии Его падают всегда на самые большие дома и самые высокие де­ревья». И затем он объясняет причину: «Так, очевидно, Он лю­бит унижать все, что возносит себя».

Как вы думаете — сейчас, когда у вас есть правильный взгляд на молнию, поражающую высокие деревья, смогли ли бы вы давать королям советы по военным вопросам с большей муд­ростью, чем делал это Артабан 2300 лет назад? Скажите им, чтоб они не возносили себя! У вас только это выйдет не столь поэтично.

* Удобный способ наблюдать размер капель — дать воде падать на большой противень. От крупных капель дробь будет громче.