Физика в примерах и задачах

Ясно, что взаимодействие стержней 2 и 3 начинается в тот момент, когда волна сжатия, распространяясь по стержню 2, достигает его границы со стержнем 3. Это происходит спустя промежуток времени l/u после начала столкновения стержней 1 и 2. Спустя ещё промежуток времени l/u взаимодействие стержней 1 и 2 прекращается, а стержней 2 и 3 - продолжается. Рассмотрим тот момент, когда длинный стержень, освобождаясь от сжатия, оказывается недеформированным. Этому моменту соответствует рис. 25.5е предыдущего примера. В этот момент скорости всех частиц стержня 2 направлены влево, а стержня 3 - вправо (рис. 26.2а). Так как эти стержни не соединены друг с другом, то никакой волны растяжения, разумеется, не возникает: стержни 2 и 3 просто удаляются друг от друга. При этом стержни 1 и 2 остаются в контакте друг с другом, так как движутся с одинаковыми скоростями налево (рис. 26.2б). Разделение стержней 2 и 3 происходит спустя промежуток времени 2l/u после начала их взаимодействия, т, е. спустя время l/u после прекращения взаимодействия стержней 1 и 2.

Рис. 26.2. Распределение скоростей частиц стержней после того, как стержни освободились от деформации

Из сравнения рис. 26.1 и 26.2б видно, что результат столкновения сводится к тому, что крайние стержни 1 и 3 изменили направления своих скоростей на противоположные, а скорость среднего стержня 2 осталась без изменения. Кинетическая энергия поступательного движения стержней при таком тройном столкновении остаётся без изменения. Никаких колебаний после окончания соударения в стержнях не происходит. Поэтому для рассмотренного столкновения применима модель двух последовательных абсолютно упругих столкновений: сначала первого тела со вторым, а затем второго с третьим.

Рис. 26.3. Стержень 1 налетает на покоящиеся стержни 2 и 3

Выясним теперь, как будет выглядеть это столкновение в той системе отсчёта, в которой соприкасающиеся стержни 2 и 3 покоятся, а стержень 1 налетает на них. Для перехода в такую систему отсчёта нужно к скоростям всех тел прибавить одну и ту же скорость v, направленную вправо. С помощью рис. 26.1 и 26.2б видим, что в этой системе отсчёта до удара стержень 1 движется со скоростью 2v, а стержни 2 и 3 покоятся (рис. 26.3а). После удара покоятся стержни 1 и 2, а стержень 3 движется со скоростью 2v направо (рис. 26.3б).

Приведённый подробный анализ столкновения трёх одинаковых стержней позволяет понять результат упоминавшегося выше опыта с отскоками подвешенных на нитях упругих шаров (рис. 23.2.)

Из разобранных примеров ясно, что соударения нескольких упругих тел нужно рассматривать как последовательность отдельных столкновений. Для того чтобы применять к этим столкновениям упругих тел модель абсолютно упругого удара, нужно быть уверенным в том, что после прекращения столкновения в телах не происходит колебаний.

27. Упругий шар и стенка.

В задаче 24 уже отмечалось, что столкновение шара с недеформируемой стенкой происходит не совсем так, как столкновение стержня со стенкой. Главная причина различия заключается в том, что в процессе соударения площадь области контакта шара со стенкой не остаётся постоянной.

Это различие проявляется даже в статическом случае, когда упругое тело прижимается к недеформируемой стенке постоянной внешней силой. Деформация стержня, поперечное сечение которого одинаково по всей длине, будет при этом однородной, и потенциальная энергия упругой деформации будет равномерно распределена по всему объёму стержня.

При статической деформации шара, прижатого к стенке, характер распределения деформации будет совсем иным. Деформация материала шара уже не будет однородной. Наиболее сильно будут деформированы участки шара вблизи стенки. Чем дальше от стенки, тем меньшей будет деформация. При этом оказывается, что деформация эффективно проникает в шар на сравнительно небольшую глубину и охватывает только некоторую часть шара, объём которой мал по сравнению с объёмом всего шара. Потенциальная энергия деформации будет сосредоточена в малой области шара, непосредственно примыкающей к стенке.

Рис. 27.1. Пружины разной жёсткости

Понять такой характер деформации шара и распределения потенциальной энергии по его объёму можно, рассматривая сжатие двух последовательно соединённых пружин разной жёсткости (рис. 27.1). Пусть жёсткость первой пружины равна k, второй - k. Пружины сжимаются силой F, которая при последовательном соединении пружин в любом сечении одинакова. Деформации пружин x и x связаны с силой F и коэффициентами k и k обычными соотношениями

F

=

kx

,

F

=

kx

.

(1)

Потенциальные энергии деформированных пружин пропорциональны квадратам их деформаций:

W

=

kx^2

2

,

W

=

kx^2

2

.

(2)

Из соотношений (1) следует, что деформации пружин обратно пропорциональны их жёсткостям. Поэтому для отношения энергий W и W с помощью (2) находим

W

W

=

k

k

.

(3)