Занимательная математика

— Абсолютно правильно! — воскликнул врач. — Но то, что вы так легко решили эту задачу, свидетельствует о том что вы не математик! Настоящий математик стал бы искать решения в виде бесконечного ряда, суммируя времена, за которые шмель покрывает отрезки своего пути, совершая полеты туда и обратно между поездами. При таком подходе решение задачи становится весьма трудным, так как члены суммируемого ряда имеют достаточно сложный вид. Мне рассказывали, что Джон фон Нейман[8]. один из величайших математиков XX века, задумавшись на несколько секунд, дал правильный ответ — 70 миль.

— О! — воскликнул человек, задавший ему эту задачу. — Вы все-таки нашли простое решение, а я думал, что вы станете суммировать в уме бесконечный ряд.

— А я и просуммировал ряд, — спокойно ответил Джон фон Нейман, который был известен своей способностью производить в уме сложнейшие вычисления со скоростью, уступавшей только электронным компьютерам, в развитие которых он внес существенный вклад.

Почтовые голуби

Однажды мистер Джонсон поведал своему приятелю с математическим складом ума об одной трудной задаче, с которой ему пришлось столкнуться, когда он служил машинистом на железной дороге. Войскам связи настоятельно потребовалось провести испытание почтовых голубей, и представители командования этого рода войск обратились к мистеру Джонсону с просьбой выпустить двух почтовых голубей в точках маршрута, отстоящих на расстоянии ровно 50 миль и разделенных по времени ровно на 1 час.

На одном из участков маршрута был прямолинейный отрезок длиной 100 миль. По расписанию поезд должен был преодолеть эти 100 миль ровно за 2 часа, т. е. двигаться в течение 2 часов со средней скоростью 50 миль/ч. Но на этом стомильном отрезке было немало станций. Продолжительность стоянок, естественно, определялась расписанием, в котором было указано время прибытия поезда на каждую станцию и время отправления. Машинист мог нагнать потерянное время, двигаясь с более высокой скоростью, и ему всегда удавалось уложиться на стомильном отрезке в требуемые два часа.

— Но именно потому, что я покрываю 100 миль за 2 часа, — сказал мистер Джонсон своему приятелю, — нет никаких оснований предполагать, что в течение этих 2 часов непременно найдется часовой промежуток времени, на протяжении которого я двигаюсь со средней скоростью 50 миль/ч.

— Не хотелось бы огорчать вас, но, к сожалению, вы заблуждаетесь, — засмеялся врач. — Нетрудно доказать, что независимо от того, как менялась скорость поезда в течение 2 часов, за которые вы преодолеваете отрезок в 100 миль, непременно найдется по крайней мере один одночасовой промежуток времени, за который вы проезжаете ровно 50 миль. Проще всего в этом можно убедиться следующим образом. Представим себе, что 2 часа разделены на 2 последовательных промежутка времени продолжительностью 1 час каждый.

Предположим также, что ни за первый, ни за второй час вы не проезжаете ровно 50 миль, так как в противном случае задача была бы решена. Мы можем также, не ограничивая общности, предположить, что средняя скорость за первый час меньше 50 миль/ч, а за второй час — больше 50 миль/ч. Как вы увидите из дальнейшего, мои рассуждения не зависят от того, в который из часовых промежутков, в первый или во второй, средняя скорость была больше.