Жемчужина Эйлера

Теорема Пуанкаре-Хопфа утверждает, что если число нулей векторного поля на поверхности конечно, то сумма их индексов равна эйлеровой характеристике. Отсюда следует, что если у векторного поля нет нулей, то эйлерова характеристика поверхности должна быть равна нулю. Поэтому любое векторное поле на поверхности с ненулевой эйлеровой характеристикой обязано иметь по крайней мере один ноль! Эйлерова характеристика сферы равна 2, следовательно, любое векторное поле на сфере должно иметь ноль. Эта знаменитая теорема, которую первым доказал Л. Э. Дж. Брауэр (1881–1966), известный друзьям как «Бертус», в 1911 году¹⁷¹, имеет хорошо запоминающееся название — теорема о причесывании ежа. Так она называется, потому что если рассматривать свернувшегося в клубок ежа (или теннисный мяч) как сферу с векторным полем, то невозможно причесать его так, чтобы ни одна иголка не торчала.

Теорема о причесывании ежа

Любое векторное поле на сфере имеет хотя бы один ноль.

Из этой теоремы следует утверждение, упомянутое во введении: в любой момент времени на Земле существует точка, в которой не дует ветер. Если рассматривать Землю как сферу, то направления ветров на поверхности образуют векторное поле. По теореме о причесывании ежа, существует точка, где это поле обращается в ноль. В примере на рис. 19.10 точка безветрия находится в центре циклона близ берегов Южной Америки. (На самом деле, поскольку индекс этого нуля равен 1, на другой стороне Земли должна быть еще хотя бы одна точка, в которой нет ветра!)

Рис. 19.10. Векторы направления ветра на поверхности Земли

Поскольку эйлерова характеристика тора равна нулю, теорема Пуанкаре-Хопфа не гарантирует, что любое векторное поле на нем имеет ноль. И действительно, на рис. 19.11 приведен пример не обращающегося в ноль векторного поля на торе.

Рис. 19.11. Векторное поле без нулей на торе

Теорема о причесывании ежа — пример «теоремы существования». Таких в математике много. Они одновременно очень мощные и мучительно неточные. С одной стороны, при очень простом наборе предположений (векторное поле на сфере) мы можем уверенно говорить о существовании некоторого объекта (нулевого вектора). С другой стороны, часто бывает так, что ни формулировка, ни способ доказательства теоремы существования никак не помогают найти этот объект. Мы знаем, что где-то на другой стороне земного шара (см. рис. 19.10) есть точка безветрия, но она может быть где угодно, и, более того, таких точек может быть одна или много. Это все равно, что искать засунутого куда-то плюшевого мишку, когда ребенку пора спать, — мы точно знаем, что он где-то дома, но где — под кроватью, в шкафу или в микроволновке? Хотя для нахождения таких объектов нужны дополнительные методы, часто одного лишь знания о его существовании достаточно для конкретной цели.

Теорема Пуанкаре-Хопфа названа в честь двух математиков, внесших наибольший вклад в ее доказательство, хотя были и другие.

Анри Пуанкаре родился во Франции, в городе Нанси в 1854 году в респектабельной состоятельной семье (его двоюродный брат Раймон Пуанкаре позже станет президентом Французской республики).

Рис. 19.12. Анри Пуанкаре

Математический талант Пуанкаре проявился очень рано, а один из учителей называл его «монстром математики»¹⁷². Первые математические открытия он сделал, когда ему еще не было и тридцати лет, а в Академию наук был избран в возрасте тридцати трех лет. Он был типичным математическим гением: неуклюжий, близорукий, рассеянный. Но обладал выдающимся интеллектом и способностью удерживать в мозгу и мысленно жонглировать многочисленными абстрактными понятиями.

Пуанкаре всеми признан как виднейший математик своего времени. Он был настоящим универсалом. Подобно Эйлеру и Гауссу, Пуанкаре был специалистом почти во всех областях математики, чистой и прикладной. Он жадно проглатывал литературу и был в курсе всех последних результатов. Как и Эйлер (но не Гаусс), Пуанкаре много печатался. Из-под его пера вышло почти пятьсот статей, а также много книг и материалов к лекциям. Он внес важный и не теряющий значения с годами вклад в такие разные области, как теория функций, алгебраическая геометрия, теория чисел, дифференциальные уравнения — обыкновенные и в частных производных, небесная механика, динамические системы и, конечно, топология. Он также опубликовал много статей по теоретической физике. Для Пуанкаре было характерно неистощимое любопытство, которое вело его от одного предмета к другому. Бывало, что он набрасывался на новую область математики, оставлял в ней неизгладимый след, а затем переходил к следующей. Один современник назвал его «завоевателем, но не колонистом».

Удивительно, что он не только умел делать первоклассную математику, но и писать на уровне, доступном неспециалистам. Он автор многочисленных ярких и увлекательных публикаций о науке и математике для широкой аудитории. Его тексты переведены на многие языки, их читают во всем мире.