1. Объективная диалектика.

Рассмотренная выше конечность пространства состояний и пространства меры является их экстенсивной конечностью. Математическая абстракция строится обычно на идеализации, при которой допускается не только экстенсивная, но и интенсивная бесконечность пространства, т. е. бесконечность вглубь. В противоположность этому как для пространства состояний, так и для пространства меры конечность имеет место с точки зрения их экстенсивности и интенсивности. В самом деле, то или иное свойство не может уменьшаться до бесконечности. Бесконечное приближение к нулю означало бы нарушение закона перехода количества в качество. Но если свойство не может иметь как угодно малые количественные значения, то оно распадается на дискретный и притом конечный ряд допустимых значений.

Таким образом, та дискретность, с которой мы встречаемся при анализе количественной определенности, является следствием закона перехода количества в качество, который объясняет универсальность дискретности количественной определенности.

Отсутствие как угодно малых количественных различий одного и того же свойства приводит к тому, что уже для пространства состояний нельзя говорить об абстрактной точке в математическом смысле. Поскольку значение каждого свойства на деле может быть определено с точностью до некоторого конечного промежутка, то вместо точки N-мерного пространства, которая должна отображать определенное состояние, мы имеем некоторый конечный объем соответствующего N-мерного пространства. Именно этот минимальный объем и является отображением состояния в фиксированный момент времени. Следовательно, состоянием можно назвать минимальную область задания совокупности переменных, отображающих набор свойств объекта.

Такой подход недостаточен с точки зрения меры, поскольку он, как это имело место и при экстенсивном подходе, не учитывает взаимосвязь свойств состояния. В самом деле, минимальная область задания определяется на основании минимальных количественных различий, имеющих место по отношению к каждому отдельному свойству, взятому независимо от других. Учет зависимостей между различными свойствами состояния или соответствующими переменными приводит к тому, что минимальная область увеличивается. Это происходит в силу того, что данная качественная определенность не может существовать, если те или иные ее свойства получают значение меньше некоторой величины. При этом вне данной качественной определенности эти свойства, как правило, могут иметь и гораздо меньшее количественное значение.

В силу того что пространство состояний имеет большую верхнюю границу и меньшую нижнюю, пространство меры всегда находится внутри пространства состояний. Поэтому с помощью пространства состояний всегда можно выразить не только изменения в рамках меры, но и переход от одного качественного состояния к другому, т. е. переход через границу меры.

Универсальность минимальных количественных значений для определенного качества в течение длительного времени совершенно не учитывалась в процессе познания. Принципиальная невозможность получить сколь угодно точные значения изменяемых свойств была доказана в физике только с развитием квантовой механики[332]. Между тем анализ пространства состояний и пространства меры с точки зрения закона перехода количества в качество является демонстрацией того факта, что ситуация, характерная для проблемы измерения в квантовой механике, является лишь частным случаем общей закономерности.

Этот вывод имеет важное методологическое значение как при разработке математических средств отображения поведения материальных систем, так и при оценке результатов измерения, используемых при таком описании. Он позволяет по-новому взглянуть на смысл применения финитных математических методов. До сих пор господствовало представление о том, что эти методы допустимы лишь с практической точки зрения. С гносеологической точки зрения они рассматривались лишь как приблизительные. Поэтому инфинитные методы оценивались как единственные, позволяющие адекватно отображать действительность. Такой подход к гносеологической ценности финитных и инфинитных методов основывался на предположении, что сами по себе материальные объекты обладают свойствами, количественные значения которых объективно могут различаться на сколь угодно малые величины и в силу этого возможно сколь угодно точное измерение. Лишь недостатки методов измерения приводят к тому, что финитные и инфинитные методы практически дают одни и те же результаты.

3. Категория узловой линии мер и развитие сложных систем

В современной философской и специальной научной литературе все шире используется категория меры. Она становится одной из важнейших категорий, отражающих развитие сложных систем.