10 заповедей нестабильности

Все люди смертны (первая посылка).

Гёдель – человек (вторая посылка).

Гёдель – умрет (вывод).

(Российский читатель может вспомнить, что в повести Л. Н. Толстого «Смерть Ивана Ильича» с воспоминания об этом силлогизме главный герой начинает осознавать неотвратимость собственной смерти и размышлять о смысле жизни. – Прим. Перев)

Большинство людей рассуждают именно так, даже не вдумываясь в тонкости логики, что и является основой здравого смысла. Мы все понимаем, что логические размышления позволяют получать правильные выводы из правильных посылок, однако следует напомнить, что те же древние греки обнаружили один существенный недостаток дедуктивной логики, а именно: она «буксует» в некоторых довольно простых ситуациях (этот дефект является малозаметным и безвредным в обыденной речевой практике). Древнегреческие философы сформулировали и один из самых известных парадоксов такого типа: «Эпименид утверждает, что критяне лжецы». Фокус этой простой фразы состоял в том, что Эпименид сам был критянином, так что,если он прав, то критяне лгут и, следовательно, он… говорит правду и т. д. Не стоит ломать голову над этим высказыванием, поскольку оно действительно не может быть проанализировано логически. Другой, более современный вариант этого же парадокса выглядит следующим образом: «Назовем деревенским парикмахером человека, бреющего тех жителей деревни, которые не бреются сами. Кто бреет самого парикмахера?».

Знаменитый английский математик и философ Бертран Рассел (известный, кстати, своими чудачествами) долгое время занимался такими парадоксами и даже придумал им интересную форму, предложив написать на двух сторонах одного листа бумаги следующую фразу: «Утверждение, написанное на обороте этого листа, ошибочно» (лист бумаги с таким утверждением на обоеих сторонах можно переворачивать бесконечно). Позднее Рассел писал в автобиографии: «…конечно, взрослому человеку не стоило тратить время на такие тривиальные шутки, но что мне оставалось делать?» Рассел стремился продемонстрировать, что некоторые, весьма простые утверждения не могут быть оценены с точки зрения формальной логики.

В 1900 г. великий немецкий математик Давид Гильберт опубликовал обращение к коллегам, где перечислил 23 проблемы, от решения которых, по его мнению, зависело все будущее развитие этой науки. Основная и принципиальная позиция Гильберта сводилась к тому, что математика должна быть исчерпывающей (т. е. способной ответить на все связанные с ней вопросы) и внутренне согласованной наукой (т. е. в ней не должно быть утверждений, на которые можно одновременно дать и положительный, и отрицательный ответы). Упомянутые Расселом «тривиальные шутки» приводят нас к той же проблеме: можно ли утверждать, что математические рассуждения являются полностью и всегда справедливыми? В математике нет места никаким лжецам-критянам с их двусмысленными загадками, допускающими неоднозначные или странные ответы.

Гильберт выразил эту идею с предельной ясностью и четкостью: каждая конкретная математическая задача должна иметь ясное решение, которое должно содержать либо точный ответ на поставленный вопрос, либо строгое доказательство невозможности получения такого ответа». Иными словами, если несколько аксиом объединены в некую формальную математическую систему, то такая система обязана быть согласованной (в противном случае она теряет логический смысл).

Гильберта, разумеется, весьма беспокоила проблема возникновения «новых», странных геометрий (он включил ее в свой список под вторым номером), однако в целом великий математик был настроен достаточно оптимистично и разделял естественную для большинства людей уверенность в том, что на каждый математический вопрос рано или поздно может и должен быть получен четкий (положительный или отрицательный) ответ, независимо от степени сложности вопроса и связанных с ним разногласий.

Именно это кажущееся почти очевидным утверждение опроверг Гёдель своей так называемой «теоремой о неполноте» в статье под названием «О формально неразрешимых утверждениях Оснований математики и родственных систем». Позднее Пол Хоффман напишет в известной книге «Человек, который любил только числа. Математик Поль Эрдёш» о работе Гёделя следующий комментарий: «По предложенной Рихтером шкале значимости математических открытий Гёдель, безусловно, заслуживает самого высшего, десятого балла!».

Кстати, древнегреческий парадокс об уроженцах Крита (в математике и логике его называют парадоксом лжеца) можно упростить и выразить заявлением «Это утверждение неверно!», которое даже в этой сверхкраткой форме продолжает сохранять неразрешимое внутреннее противоречие. Сам Гёдель слегка изменил классическую фразу, придав ей более изящную и тонкую форму: «Это утверждение недоказуемо!» (если оно доказуемо, то не является истинным, и обратно, и т. д.).