12 тверских математиков

В научно-исследовательской работе В.М. Брадиса можно выделить три направления. Первое, являющееся основным, сосредоточено на теоретической и методической разработке вопросов, связанных с повышением вычислительной культуры учащихся средних школ и соответствующей подготовкой учителей, призванных выполнить эту задачу. Решению данной проблемы В.М. Брадис посвятил всю свою жизнь. Идея возникла в студенческие годы, когда ему пришлось самому встретиться с необходимостью производить вычисления и наблюдать за работой других вычислителей. Здесь он убедился, что многие испытывают большие трудности вследствие того, что не владеют приёмами вычислений с приближенными данными. К этому времени имелись труды академика-кораблестроителя Алексея Николаевича Крылова. Но требовалось дальнейшее совершенствование, обоснование и пропаганда применяемых методов для использования их в школьном курсе математики. Эту задачу выполнил В.М. Брадис. Он проводит тщательное изучение вопроса и результаты исследования излагает в своих работах. Подвергая жестокой критике существующие сборники задач, Владимир Модестович с горечью отмечает, что «вопрос о недопустимом расхождении между вычислительной работой учащихся средней школы и практическими требованиями жизни вот уже более века является одним из нерешённых вопросов методики преподавания математики» (В.М. Брадис. Вычислительная работа в курсе математики средней школы. М., 1962. С. 3). Действительно, школа учит учащихся вычислительной работе на решении надуманных задач и формул с искусственно подобранными данными, при которых деления совершаются без остатка, корни извлекаются нацело, ответы выражаются натуральными числами.

Владимир Модестович отмечает, что за последние 50 лет математическая наука и её практические приложения шагнули далеко вперёд, а школьные задачники делают по части вычислительной культуры весьма робкие шаги, не вносящие заметного улучшения в повышение вычислительной культуры. Причинами застоя, по мнению В.М. Брадиса, являются, во-первых, сила традиций и, во-вторых, недостаточная разработанность научной основы практических приёмов вычислений с приближенными данными. Решением этих проблем В.М. Брадис занялся с первых лет работы в институте. Он тщательно анализирует три выделившихся в теории вычислений направления.

Первое, которое он называет классическим, — вычисление со строгим учётом погрешностей. Оно проявляется в двух видах. 1) способ границ погрешностей, когда указывается предельная, т.е. наибольшая абсолютная или относительная погрешность всякого приближенного значения, и 2) способ границ, когда указывается низшая и высшая граница, между которыми заключено приближенное число. В методической литературе рассматривается только способ границ погрешностей, в то время как способ границ более прост по идее, строже по существу и имеет применение в научной работе. Им пользовался Архимед (287—212 гг. до н.э.). Он, например, вычислив с большой точностью число ПИ, указал две границы приближенного его значения: 310/71 ПИ <3 1/7. Способ границ погрешностей, теоретически разработанный, в школе применим мало, так как требует, во-первых, значительных дополнительных расчётов и, во-вторых, обоснований используемых теорем, которые доступны учащимся старших классов.

Способ границ вполне доступен учащимся 7-х и даже 6-х классов, но обоснование его совершенно не рассматривается в методической литературе. В силу сказанного ни один из них не может стать основным способом в школьных вычислениях.

Второе направление, которое Владимир Модестович назвал техническим, есть вычисление без строгого учёта погрешностей. Основной его принцип сформулирован академиком А.Н. Крыловым; результат всякого вычисления есть число. Его следует писать так, чтобы по начертанию можно было судить о степени точности; для этого примем за правило писать число так, чтобы в нём все значащие цифры кроме последней были верны, и лишь последняя цифра была бы сомнительной и притом не более, как на одну единицу. Желание выполнить последнее требование принципа приводит к тому, что приходится следить за тем, чтобы абсолютная погрешность каждого приближенного результата была не более единицы разряда последней его цифры. Тогда, в сущности, происходит вычисление со строгим учётом погрешностей. Сам А.Н. Крылов и некоторые другие не следили за буквальным выполнением последнего требования, допуская некоторую неопределённость границы погрешности последней сохраняемой цифры результата. В силу этой неопределённости техническое направление не пользовалось доверием методистов и в школе не применялось.

Третье направление, которое Владимир Модестович назвал геодезическим, основано на теории вероятности. Здесь исследуется не только предельная погрешность приближенного значения, но и вероятности различных значений этих отклонений.