200 знаменитых головоломок мира

пинты. Человек, который вовлек монастырь в вычисление 58-значной дроби, заслуживал сурового наказания.

46. Правильным ответом будет 602 176. Такое число крестоносцев могло образовать квадрат 776 x 776. После того как к отряду присоединился еще один рыцарь, можно было образовать 113 квадратов по 5329 (73 x 73) человек в каждом. Другими словами, 113 х (73)²— 1 = (776)². Это частный случай так называемого уравнения Пелля.

47. Читатель знает, что целые числа бывают простыми и составными. Далее: 1 111 111 не может быть простым числом, ибо если бы оно было таковым, то единственными возможными ответами оказались бы те, что предложил брат Бенджамин и отверг брат Питер. Точно так же оно не может разлагаться в произведение более двух простых сомножителей, ибо тогда решение оказалось бы не единственным. И действительно, 1 111 111 = 239 x 4649 (оба сомножителя простые); поскольку каждая кошка уничтожила больше мышей, чем всего было кошек, то кошек было 239 (см. введение).

В общем случае данная задача состоит в нахождении делителей (если они имеются) чисел вида .

Люка в своей книге «Занимательная арифметика» приводит несколько удивительных таблиц, которые он позаимствовал из арифметического трактата под названием «Талкис», принадлежащего арабскому математику и астроному Ибн Албанна, жившему в первой половине XIII века. В Парижской национальной библиотеке имеется несколько манускриптов, посвященных «Талкис», и комментарий Алкаласади, который умер в 1486 г. Среди таблиц, приведенных Люка, есть одна, где перечислены все делители чисел указанного вида вплоть до n = 18. Кажется почти невероятным, что арабы того времени могли найти делители при n = 17, приведенные во введении к настоящей книге. Но Люка утверждает, что они имеются в «Талкис», хотя выдающийся математик читает их по-другому, и мне кажется, что их открыл сам Люка. Это, разумеется, можно было бы проверить, обратившись непосредственно к «Талкис», но во время войны сделать это оказалось невозможно.

Трудности возникают исключительно в тех случаях, когда n — простое число. При n = 2 мы получаем простое число 11. Для n = 3, 5, 11 и 13 делители соответственно равны (3 x 37), (41 x 271), (21 649 x 513 239) и (53 x 79 x 265 371 653). В этой книге я привел уже делители для n = 7 и 17. Делители в случаях n = 19, 23 и 37 неизвестны, если они вообще имеются^[32]. При n = 29 делителями будут (3191 x 16 763 x 43 037 x 62 003 x 77 843 x 839 397); при n = 31 одним из делителей будет 2791; при n = 41 два делителя имеют вид (83 x 1231).

Что же касается четных и, то следующая любопытная последовательность сомножителей, несомненно, заинтересует читателя. Числа в скобках — простые.

Или мы можем записать делитель иначе:

В приведенных выше двух таблицах n имеет вид 4m + 2. Когда n имеет вид 4m, делители можно записать следующим образом:

^[33]

При n = 2 мы получаем простое число 11; при n = 3 делителями будут 3 x 37; при n = 6 они имеют вид 11 x 3 x 37 x 7 x 13; при n = 9 получается 3² x 37 x 333 667. Следовательно, мы знаем, что делителями при n = 18 будут 11 x 32 x 37 x 7 x 13 x 333 667, тогда как остающийся множитель — составной и может быть представлен в виде 19 x 52 579. Это показывает, как можно упростить работу в случае составного n.

48. Наименьшее число шагов равно 118. Я приведу решение полностью. Белые кружки двигаются по часовой стрелке, а черные — в противоположном направлении. Ниже приведены номера кружков, которые следует перемещать в указанном порядке. Сдвигаете ли вы просто кружок на соседнее место или перепрыгиваете через другой кружок, станет ясно из расположения кружков, ибо альтернативы не будет. Ходы, указанные в скобках, следует совершать пять раз подряд: 6, 7, 8, 6, 5, 4, 7, 8, 9, 10, 6, 5, 4, 3, 2, 7, 8, 9, 10, 11 (6, 5, 4, 3, 2, 1), 6, 5, 4, 3, 2, 12 (7, 8, 9, 10, 11, 12), 7, 8, 9, 10, 11, 1, 6, 5, 4, 3, 2, 12, 7, 8, 9, 10, 11, 6, 5, 4, 3, 2, 8, 9, 10, 11, 4, 3, 2, 10, 11, 2. Таким образом, при заданных условиях мы сделали 118 ходов; черные лягушки поменялись с белыми местами, причем номера 1 и 12 также поменялись местами.

В общем случае потребуется 3n² + 2n — 2 ходов, где n равно числу лягушек каждого цвета. Закон, управляющий последовательностью ходов, легко обнаружить, рассматривая наиболее простые случаи, где n = 2, 3 и 4.

Если вместо кружков с номерами 1 и 12 должны поменяться местами кружки с номерами 6 и 7, то потребуется n² + 4n + 2 ходов. Если мы придадим и значение 6, как в нашем случае, то получится 62 хода.

КАК УДАЛОСЬ БЕЖАТЬ КОРОЛЕВСКОМУ ШУТУ

Хотя королевский шут и пообещал «потом все объяснить», записей, где бы говорилось, как он это сделал, не сохранилось. Поэтому я предложу читателю мою собственную точку зрения относительно вероятного решения предложенных загадок.