5b. Электричество и магнетизм

Предположим теперь, что мы смотрим на вертикальное по­перечное сечение мембраны. Оно будет иметь вид некоторой кривой, похожей на изображенную на фиг. 12.5. Пусть и — вертикальное смещение мембраны от ее нормального положения, а х и у — координаты в горизонтальной плоскости

Фиг. 12.3. Тонкая резино­вая пленка, натянутая на цилиндр (нечто вроде ба­рабана).

Какой формы будет поверх­ность, если пленку приподнять в точке A и опустить в точке В?

Фиг. 12.4. Поверхностное натяжение t натянутой, резиновой пленки есть сила отнесенная к единице дли­ны и направленная перпен­дикулярно линии разреза.

(Приведенное сечение параллельно оси х.)

Возьмем небольшой кусочек поверхности длиной Dx; и ши­риной Dу. На него действуют силы вследствие поверхностного натяжения вдоль каждого края. Сила на стороне 1 (см. фиг. 12.5) будет равна t₁Dy и направлена по касательной к поверхности, т. е. под углом q₁ к горизонтали. Вдоль стороны 2 сила будет равна t₂Dy и направлена к поверхности под углом q₂. (Подобные силы будут и на двух других сторонах кусочка, но мы пока забудем о них.) Результирующая сила от сторон 1 и 2, дей­ствующая на кусочек вверх, равна

Мы ограничимся рассмотрением малых искажений мембраны, т. е. малых изгибов и наклонов: тогда мы сможем заменить sinq на tgq и записать как дu/дx. Сила при этих условиях дается выражением

Величина в скобках может быть с тем же успехом записана (для малых Dx:) как

Фиг. 12.5. Поперечноесечение изогнутой пленки.

Тогда

Имеется и другой вклад в DF от сил на двух других сторо­нах; полный вклад, очевидно, равен

(12.16)

Искривления диафрагмы вызваны внешними силами. Пусть / означает направленную вверх силу на единичную площадку пленки (своего рода «давление»), возникающую от внешних сил. Если мембрана находится в равновесии (статический случай), то сила эта должна уравновешиваться только что вычисленной внутренней силой [уравнение (12.16)]. Иначе говоря,

Уравнение (12.16) тогда может быть записано в виде

(12.17)

где под знаком Смы теперь подразумеваем, конечно, двух­мерный оператор градиента (д/дх, д/ду). У нас есть дифферен­циальное уравнение, связывающее u(х, у) с приложенными си­лами f(x, у) и поверхностным натяжением пленки t(x, у), которое, вообще говоря, может меняться от места к месту. (Деформации трехмерного упругого тела тоже подчиняются таким уравнениям, но мы ограничимся двухмерным случаем.) Нас будет интересовать только случай, когда натяжение t постоянно по всей пленке. Тогда вместо (12.17) мы можем запи­сать

(12.18)

Снова мы получили такое же уравнение, как в электроста­тике! Но на сей раз оно относится к двум измерениям. Сме­щение u соответствует j, а f/t соответствует r/e₀. Поэтому тот труд, который мы потратили на бесконечные заряженные плос­кости, или параллельные провода большой длины, или заряжен­ные цилиндры, пригодится для натянутой мембраны.

Предположим, мы подтягиваем мембрану в каких-то точках на определенную высоту, т. е. фиксируем величину и в ряде точек. В электрическом случае это аналогично заданию определенного потенциала в соответствующих местах. На­пример, мы можем устроить положительный «потенциал», если подопрем мембрану предметом, который имеет такое же сечение, как и соответствующий цилиндрический проводник. Если, скажем, мы подопрем мембрану круглым стержнем, поверхность примет форму, изображенную на фиг. 12.6.

Фиг. 12.6. Поперечное сечение натянутой рези­новой пленки, подпертой круглым стержнем.

Функция u(х, у) та же, что и потенциал j(х, у) от очень длинного заряженного стержня.

Высота и имеет такой же вид, как электростатический потенциал j заряженного цилиндрического стержня. Она спадает, как ln(1/r). (Наклон поверхности, который соответствует электри­ческому полю Е, спадает, как 1/r.)