6. Электродинамика

В этой области математики имеется много своих задач. Скажем, окружность обычно определяют как геометрическое место точек, расстояния которых от данной точки одинаковы, но окружность можно определить и иначе: это та из кривых данной длины, которая ограничивает собою наибольшую пло­щадь. Любая другая кривая такого же периметра ограничивает площадь меньшую, чем окружность. Так что если поставить задачу: найти кривую данного периметра, ограничивающую наибольшую площадь, то перед нами будет задача из вариацион­ного исчисления, а не из того исчисления, к которому вы при­выкли.

Итак, мы хотим взять интеграл по пути, пройденному телом. Сделаем это так. Все дело в том, чтобы вообразить себе, что су­ществует истинный путь и что любая другая кривая, которую мы проведем,— не настоящий путь, так что если подсчитать

для нее действие, то получится число, превышающее то, кото­рое мы получим для действия, соответствующего настоя­щему пути.

Итак, задача: найти истин­ный путь. Где он пролегает? Один из способов, конечно, мог бы состоять в том, чтобы подсчитать действие для мил­лионов и миллионов путей и потом посмотреть, при каком пути это действие наименьшее. Вот тот путь, при котором действие минимально, и бу­дет настоящим.

Такой способ вполне возможен. Однако можно сделать проще. Если имеется величина, обладающая минимумом (из обычных функций, скажем, температура), то одно из свойств минимума состоит в том, что при удалении от него на расстояние первого порядка малости функция отклоняет­ся от минимального своего значения только на величину второго порядка. А в любом другом месте кривой сдвиг на малое расстояние изменяет значение функции тоже на величину первого порядка мало­сти. Но в минимуме легкие уходы в сторону в первом приближении не приводят к изменению функции.

Это-то свойство мы и со­бираемся использовать для расчета настоящего пути.

Если путь правильный, то кривая, чуть-чуть отличная от него, не приведет в первом приближении к изменению в вели­чине действия. Все изменения, если это был действительно минимум, возникнут только во втором приближении.

Это легко доказать. Если при каком-то отклонении от кри­вой возникают изменения в первом порядке, то эти изменения в действии пропорциональны отклонению. Они, по всей вероятности, увеличат действие; иначе это не был бы минимум. Но раз изменения пропорциональны отклонению, то перемена знака отклонения уменьшит действие. Выходит, что при отклонении и одну сторону действие возрастает, а при отклонении в обрат­ную сторону — убывает. Единственная возможность того, что­бы это действительно был минимум,— это чтобы в первом при­ближении никаких изменений не происходило и изменения были бы пропорциональны квадрату отклонения от настоящего пути.

Итак, мы пойдем по следующему пути: обозначим через x(t) (с чертой внизу) истинный путь — тот, который мы хотим найти. Возьмем некоторый пробный путь x(t), отличаю­щийся от искомого на неболь­шую величину, которую мы обозначим h(t).

Идея состоит в том, что если мы подсчитаем действие S на пути x(t), то разность между этим S и тем дейст­вием, которое мы вычислили для пути x(t) (для простоты

оно будет обозначено S), или разность между S и S, должна быть в первом приближении по h нулем. Они могут отли­чаться во втором порядке, но в первом разность обязана быть нулем.

И это должно соблюдаться для любой h. Впрочем, не со­всем для любой. Метод требует принимать во внимание только те пути, которые все начинаются и кончаются в одной и той же паре точек, т. е. всякий путь должен начинаться в определен­ной точке в момент t₁ и кончаться в другой определенной точке в момент t₂. Эти точки и моменты фиксируются. Так что наша функция h(отклонение) должна быть равна нулю на обоих концах: h(t₁)=0 и h(t₂)=0. При этом условии наша математическая задача становится полностью опре­деленной.

Если бы вы не знали дифференциального исчисления, вы могли бы проделать такую же вещь для отыскания минимума обычной функции f(x). Вы бы задумались над тем, что случится, если взять f(x) и прибавить к х малую величину h, и доказы­вали бы, что поправка к f(x) в первом порядке по h долж­на в минимуме быть равна нулю. Вы бы подставили x+h вместо х и разложили бы f(x+h) с точностью до первой сте­пени h. . ., словом, повторили бы все то, что мы намерены

Итак, идея наша заключается в том, что мы подставляем x(t)=x(t)+- h(t) в формулу для действия

где через V(x) обозначена потенциальная энергия. Производная dx/dt — это, естественно, производная от x(t) плюс производ­ная от h(t), так что для действия я получаю такое выражение:

Теперь это нужно расписать подетальней. Для квадратич­ного слагаемого я получу