6. Электродинамика

а это то же самое, что написано в уравнении (15.14). Мы полу­чаем правильный ответ, хотя пренебрегаем работой, которую электрическая система тратит на постоянное поддержание напряжения. И здесь опять электрическая энергия ровно вдвое больше механической и имеет обратный знак.

Итак, если мы ведем расчет искусственно, пренебрегая тем фактом, что источник потенциала должен тратить работу на то, чтобы напряжение оставалось неизменным, то все равно мы приходим к правильному результату. Это в точности соответ­ствует положению дел в магнитостатике.

§ 3. Энергия постоянных токов

Зная, что U_полн = -U_мех, используем этот факт, чтобы найти истинную энергию постоянных токов в магнитных полях. Начать можно с истинной энергии небольшой токовой петельки. Обозначая U_полнпросто через U, напишем

U = m·В.(15.16)

Хотя эту энергию мы подсчитали только для плоской прямо­угольной петли, все это верно и для плоской петельки произ­вольной формы.

Энергию контура произвольной формы можно найти, пред­ставив себе, что он состоит из небольших токовых петель. Ска­жем, имеется провод в форме петли Г (фиг. 15.4). Натянем на эту петлю поверхность S, а на ней наметим множество петелек, каждую из которых можно считать плоской. Если заставить ток I циркулировать по каждой петельке, то в итоге выйдет то же самое, как если бы ток шел только по петле Г, ибо токи на всех внутренних линиях взаимно уничтожатся. Система не­больших токов физически не будет отличима от исходного контура, и энергия должна быть той же, т. е. должна быть равна сумме энергий всех петелек.

Если площадь каждой петельки Dа, то ее энергия равна IDаB_n, где B_n — компонента В, нормальная к Dа. Полная энергия равна U = SIB_nDа.

Фиг. 15.4. Энергию большой петли в магнитном поле можно считать суммой энергий маленьких петелек.

В пределе, когда петли становятся бесконечно малыми, сумма превращается в интеграл, и

(15.17)

где n — единичная нормаль к da,

Если мы положим В = СXA, то поверхностный интеграл можно будет связать с контурным (по теореме Стокса):

(15.18)

где ds — линейный элемент вдоль Г. Итак, мы получили энер­гию контура произвольной формы:

(15.19)

В этом выражении А обозначает, конечно, векторный потен­циал, возникающий из-за токов (отличных от тока / в про­воде), которые создают поле В близ провода.

Далее, любое распределение постоянных токов можно считать состоящим из нитей, идущих вдоль тех линий, по кото­рым течет ток. Для любой пары таких контуров энергия дается выражением (15.19), где интеграл взят вокруг одного из кон­туров, а векторный потенциал А создан другим контуром. Пол­ная энергия получается сложением всех таких пар. Если вместо того, чтобы следить за парами, мы полностью просуммируем по всем нитям, то каждую энергию мы засчитаем дважды (та­кой же эффект мы наблюдали в электростатике), и полную энергию можно будет представить в виде

(15.20)

Это соответствует полученному для электростатической энергии выражению

(15.21)

Значит, мы можем считать А, если угодно, своего рода потен­циальной энергией токов в магнитостатике. К сожалению, это представление не очень полезно, потому что оно годится только для статических полей. В действительности, если поля со временем меняются, ни выражение (15.20), ни выражение (15.21) не дают правильной величины энергии.

§ 4. B или А?

В этом параграфе нам хотелось бы обсудить такой вопрос: что такое векторный потенциал — просто полезное для расче­тов приспособление (так в электродинамике полезен скалярный потенциал) или же он как поле вполне «реален»? Или же «реаль­но» лишь магнитное поле, так как только оно ответственно за силу, действующую на движущуюся частицу?

Для начала нужно сказать, что выражение «реальное поле» реального смысла не имеет. Во-первых, вы вряд ли вообще полагаете, что магнитное поле хоть в какой-то степени «реаль­но», потому что и сама идея поля — вещь довольно отвлеченная. Вы не можете протянуть руку и пощупать это магнитное поле. Кроме того, величина магнитного поля тоже не очень опреде­ленна; выбором подходящей подвижной системы координат можно, к примеру, добиться, чтобы магнитное поле в данной точке вообще пропало.

Под «реальным» полем мы понимаем здесь вот что: реальное поле — это математическая функция, которая используется нами, чтобы избежать представления о дальнодействии. Если в точке Р имеется заряженная частица, то на нее оказывают влияние другие заряды, расположенные на каком-то удалении от Р. Один прием, которым можно описать взаимодействие,— это говорить, что прочие заряды создают какие-то «условия» (какие — не имеет значения) в окрестности Р. Если мы знаем эти условия (мы их описываем, задавая электрическое и маг­нитное поля), то можем полностью определить поведение части­цы, нимало не заботясь после о том, что именно создало эти условия.