6a. Электродинамика

Итак, сколько же здесь этого магнитного поля? Это узнать не­трудно. Возьмем в качестве петли Г₁ круг радиуса r. Из симмет­рии ясно, что магнитное поле идет так, как показано на рисун­ке. Тогда интеграл от В равен 2prВ. А поскольку электрическое поле однородно, то поток его равен просто Е, умноженному на pr², на площадь круга:

(23.4)

Производная Е по времени в нашем переменном поле равна iwE₀e^iwt, Значит, в нашем конденсаторе магнитное поле равно

(23.5)

Иными словами, магнитное поле тоже колеблется, а его величи­на пропорциональна w и r.

К какому эффекту это приведет? Когда существует магнит­ное поле, которое меняется, то возникнут наведенные электри­ческие поля, и действие конденсатора станет слегка похоже на индуктивность. По мере роста частоты магнитное поле усилива­ется: оно пропорционально скорости изменения Е, т. е. w. Им­педанс конденсатора больше не будет просто равен 1/iwС.

Будем увеличивать частоту и посмотрим повниматель­нее, что происходит. У нас есть магнитное поле, которое пле­щется то туда, то сюда. Но тогда и электрическое поле не может, как мы раньше предполагали, остаться однородным! Если имеет­ся изменяющееся магнитное поле, то по закону Фарадея должен существовать и контурный интеграл от электрического поля. Так что если существует заметное магнитное поле (а так и бы­вает на высоких частотах), то электрическое поле не может быть на всех расстояниях от центра одинаковым. Оно должно так меняться с r, чтобы криволинейный интеграл от него мог быть равен изменяющемуся потоку магнитного поля.

Посмотрим, сможем ли мы представить себе правильное электрическое поле. Это можно сделать, подсчитав «поправку» к тому, что было на низких частотах,— к однородному полю. Обозначим поле при низких частотах через Е₁, и пусть оно по-прежнему равно Е₀е^iwt, а правильное поле запишем в виде

где E₂— поправка из-за изменения магнитного поля. При любых w мы будем задавать поле в центре конденсатора в виде E₀e^iwt(тем самым определяя Е₀), так что в центре поправки не будет: E₂=0 при r=0.

Чтобы найти Е₂, можно использовать интегральную форму закона Фарадея

Интегралы берутся просто, если вычислять их вдоль линии Г₂, показанной на фиг. 23.4,б и идущей сперва по оси, затем по радиусу вдоль верхней обкладки до расстояния r, потом вер­тикально вниз на нижнюю обкладку и обратно к оси по радиусу. Контурный интеграл от Е₁вдоль этой кривой, конечно, равен нулю; значит, в интеграл дает вклад только Е₂, и интеграл равен просто —E_z(r)h, где h — зазор между обкладками. (Мы считаем Е положительным, когда оно направлено вверх.) Это равно скорости изменения потока В, который получится, если вычислить интеграл по заштрихованной площади S внутри Г₂ (фиг. 23.4,6). Поток через вертикальную полосу шириной dr равен B(r)hdr, а суммарный поток

Полагая — d/dt от потока равным контурному интегралу от E₂, получаем

Фиг. 23.5. Электрическое по­ле между обкладками конден­сатора на высоких частотах. Краевыми аффектами пренебрегли.

Заметьте, что h выпало: поля не зависят от величины зазора между обкладками.

Используя для В(r) формулу (23.5), получаем

Дифференцирование по времени даст нам просто еще один множитель iw:

(23.7)

Как и ожидалось, наведенное поле стремится свести на нет первоначальное электрическое поле. Исправленное поле Е = Е₁+Е₂тогда равно

(23.8)

Электрическое поле в конденсаторе больше уже не однород­но; оно имеет параболическую форму (штриховая линия на фиг. 23.5). Вы видите, что наш простенький конденсатор уже слегка усложняется.

Наши результаты можно использовать для того, чтобы под­считать импеданс конденсатора на больших частотах. Зная электрическое поле, можно подсчитать заряд обкладок и узнать, как ток через конденсатор зависит от частоты оз. Но эта задача нас сейчас не интересует. Нас больше интересует другое: что станется, если частота будет продолжать повышаться, что про­изойдет на еще больших частотах? Но разве мы уже не кончили наш расчет? Нет, потому что раз мы исправили электрическое поле, то, значит, магнитное поле, которое мы раньше подсчи­тали, больше уже не годится. Приближенно магнитное поле (23.5) правильно, но только в первом приближении. Обозначим его В₁, а (23.5) перепишем в виде

(23.9)

Вспомните, что это поле появилось от изменения Е₁ . А правиль­ное магнитное поле будет создаваться изменением суммарного электрического поля Е₁+Е₂ . Если магнитное поле представить в виде В=В₁+В₂ , то второе слагаемое — это просто добавочное поле, создаваемое полем Е_г. Чтобы узнать В₂ , надо повторить все те же рассуждения, которые приводились, когда подсчиты­вали В₁: контурный интеграл от B₂ вдоль кривой Г₁ равен ско­рости изменения потока Е₂ через Г₁. Опять получится то же уравнение (23.4), но В в нем надо заменить на В₂ , а Е — на E₂: