6a. Электродинамика

Наконец, наше электрическое поле должно согласовываться с остальными уравнениями Максвелла для пустого пространст­ва внутри трубы. Это все равно, что потребовать, чтобы оно удовлетворяло волновому уравнению

(24.15)

Нам надо проверить, подойдет ли сюда выбранная нами форма (24.12). Вторая производная Е_y по х просто равна —k²_хЕ_у. Вторая производная по у равна нулю, потому что от у ничего не зависит. Вторая производная по z есть —k²_zE_y, а вторая про­изводная по t это —w²Е_y . Тогда уравнение (24.15) утверждает, что

Если Е_yне обращается всюду в нуль (этот случай нас не очень интересует), то это уравнение выполняется всегда, если

(24.16)

Число k_xмы уже закрепили, так что это уравнение говорит нам, что волны предположенного нами типа возможны лишь тогда, когда k_zсвязано с частотой w условием (24.16), т. е. когда

(24.17)

Волны, которые мы описали, распространяются в направлении z с таким значением k_z.

Волновое число k_z, которое мы получили из (24.17), дает нам при данной частоте w скорость, с которой бегут вдоль трубы узлы волны. Фазовая скорость равна

(24.18)

Вспомните теперь, что длина l, бегущей волны дается форму­лой l=2pv/w, так что k_zтакже равняется 2p/l_g, где l_g— длина волны осцилляции в направлении z — «длина волны в волново­де». Длина волны в волноводе, конечно, отличается от длины электромагнитных волн той же частоты, но в пустом простран­стве. Если длину волны в пустом пространстве обозначить l₀ (что равно 2pс/w), то (24.17) можно переписать в таком виде:

(24.19)

Фиг. 24.6. Магнитное по­ле в волноводе.

Кроме электриче­ских полей, существуют и магнитные поля, кото­рые тоже движутся вол­нообразно. Мы не будем сейчас заниматься выво­дом выражений для них. Ведь c²СXВ = dE/dt, и линии В циркулируют вокруг областей, где dE/dt — наибольшее, т. е. на полпути между максимумом и миниму­мом Е. Петли В лежат параллельно плоскости xz и между гребнями и впадинами Е (фиг. 24.6).

§ 3. Граничная частота

Уравнение (24.16) для k_z на самом деле имеет два корня — один с плюсом, другой с минусом. Ответ следует писать так:

(24.20)

Смысл этих двух знаков просто в том, что волны в волноводе мо­гут бежать и с отрицательной фазовой скоростью (в направлении —z), и с положительной. Волны, естественно, должны иметь возможность бежать в любую сторону. И раз одновременно мо­гут существовать оба типа волн, то решение в виде стоячих волн тоже возможно.

Наше уравнение для k_zсообщает нам также, что высшие час­тоты приводят к большим значениям k_g, т. е. к более коротким волнам, пока в пределе больших w величина k не станет равной w/с — тому значению, которое бывает, когда волна бежит в пусто­те. Свет, который мы «видим» сквозь трубу, все еще бежит со ско­ростью с. Но посмотрите зато, какая странная вещь получается, когда частота убывает. Сперва волны становятся все длиннее и длиннее. Но если частота w станет чересчур малой, то под кор­нем в (24.20) внезапно появится отрицательное число. Это произойдет, когда w перевалит через pс/а или когда l₀ станет боль­ше 2а. Иначе говоря, когда частота становится меньше некото­рой критической частоты w_c=pс/а, волновое число k_z(а также l_g) становится мнимым и никакого решения у нас не остается. Или остается? Кто, собственно, сказал, что k_zдолжно быть действи­тельным? Что случится, если оно станет мнимым? Уравнения-то поля по-прежнему ведь будут удовлетворяться. Может быть, и мнимые k_zтоже представляют какую-то волну?

Предположим, что w действительно меньше w_c; тогда можно написать

(24.21)

где k' — действительное положительное число

(24.22)

Если теперь вернуться к нашей формуле (24.12) для Е_y, то надо будет написать

(24.23)

что можно также представить в виде

(24.24)

Это выражение приводит к полю Е, которое во времени колеб­лется как e^iwt, a no z меняется как e^±k'z. Оно плавно убывает или возрастает с z, как всякая действительная экспонента. В нашем выводе мы не думали о том, откуда взялись волны, где их источник, но, конечно, где-то в волноводе он должен быть. И знак, который стоит при k', должен быть таков, чтобы поле убывало при удалении от источника волн.

Итак, при частотах ниже w_с—pс/а волны вдоль трубы не рас­пространяются; осциллирующее поле проникает в трубу лишь на расстояние порядка i/k'. По этой причине частоту w_сназы­вают «граничной частотой» волновода. Глядя на (24.22), мы ви­дим, что для частот чуть пониже w_c число k' мало, и поля могут проникать в трубу довольно далеко. Но если со намного меньше w_с, коэффициент k' в экспоненте равняется p/а, и поле отмирает чрезвычайно быстро (фиг. 24.7). Поле убывает в е раз на расстоя­нии а/p, т. е. на трети ширины волновода. Поля проникают в волновод на очень малое расстояние от источника.