8a. Квантовая механика I

Глава 8 ДРУГИЕ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ состояниями

§ 1. Молекулярный ион водорода

§ 2. Ядерные силы

§ 3. Молекула водорода

§ 4.Молекула бензола

§ 5. Красители

§ 6.Гамильтониан частицы со спи­ном 1/2 в магнит­ном поле

§ 7.Вращающийся электрон в магнитном поле

§ 1. Молекулярный ион водорода

В предыдущей главе мы обсудили некото­рые свойства молекулы аммиака в предположении, что это система о двух состояниях (или двухуровневая система). На самом деле, конечно, это не так — у нее есть множество состояний: вращения, колебания, перемещения и т. д., но в каждом из этих состояний движе­ния следует говорить о паре внутренних со­стояний из-за того, что атом азота может быть переброшен с одной стороны плоскости трех атомов водорода на другую. Сейчас мы рас­смотрим другие примеры систем, которые в том или ином приближении можно будет считать системами с двумя состояниями. Многое здесь будет приближенным, потому что всегда име­ется множество других состояний, и в более точном анализе их следовало бы учитывать. Но в каждом из этих примеров мы окажемся в силах очень многое понять, рассуждая толь­ко о двух состояниях.

Раз мы будем иметь дело только с двух­уровневыми системами, то нужный нам га­мильтониан будет выглядеть так же, как и в предыдущей главе. Когда гамильтониан не зависит от времени, то известно, что имеются два стационарных состояния с определенными (и обычно разными) энергиями. В общем слу­чае, однако, мы будем начинать наш анализ с выбора базисных состояний (не обязательно этих стационарных состояний), таких, которые, скажем, имеют другой простой физический смысл. Тогда стационарные состояния систе­мы будут представлены линейной комбинацией этих базисных состояний.

Для удобства подытожим важнейшие уравнения, выведенные в гл. 7, Пусть первоначально в качестве базисных состояний были приняты |1> и |2>. Тогда любое состояние |y> пред­ставляется их линейной комбинацией:

Амплитуды С_i (под этим подразумеваются как C₁так и С₂) удовлетворяют двум линейным дифференциальным уравнениям

где и i, и j принимают значения 1 и 2.

Когда члены гамильтониана H_ij не зависят от t, то два состояния с определенной энергией (стационарные), которые мы обозначим

обладают энергиями

Для каждого из этих состояний оба С имеют одинаковую зависимость от времени. Векторы состояний |I> и |II>, кото­рые отвечают стационарным состояниям, связаны с нашими первоначальными базисными состояниями |1> и |2>формулами

Здесь а —комплексные постоянные, удовлетворяющие равен­ствам

Если H₁₁ и H₂₂ между собой равны, скажем оба равны Е₀, а H₁₂=H₂₁=-А, то E_I=E₀+A, Е_II=Е₀-А, и состоя­ния | I> и |II> особенно просты:

Эти результаты мы хотим теперь использовать, чтобы рас­смотреть ряд интересных примеров, взятых из химии и физики. Первый пример — это ион молекулы водорода. Положительно ионизированная молекула водорода состоит из двух протонов и одного электрона, как-то бегающего вокруг них. Каких состояний можно ожидать для этой системы, если расстояние между протонами велико? Ответ вполне ясен: электрон распо­ложится вплотную к одному протону и образует атом водорода в его наинизшем состоянии, а другой протон останется одиноч­кой, положительным ионом. Значит, когда два протона удале­ны друг от друга, то можно себе наглядно представить одно физическое состояние, в котором электрон «придан» одному из протонов. Существует, естественно, и другое, симметричное первому состояние, в котором электрон находится возле вто­рого протона, а ионом оказывается первый протон. Эту пару состояний мы и сделаем базисными, обозначив их |1> и |2>. Они показаны на фиг. 8.1.

Фиг. 8.1. Совокупность базисных состояний для двух протонов и электрона.

Конечно, на самом деле у электрона возле протона имеется множество состояний, потому что их комбинация может существовать в виде одного из возбуждён­ных состояний атома водорода. Но нас сейчас не интересует это разнообразие состояний, мы будем рассматривать лишь случай, когда атом водорода пребывает в наинизшем состоя­нии — своем основном состоянии,— и пренебрежем на время спином электрона. Мы просто предположим, что для всех на­ших состояний спин электрона направлен вверх по оси z.