А ну-ка, догадайся!

_{Кэрролл.Очень просто, дитя мое. Встань лицом к циферблату остановившихся часов и возьми в руки заряженный пистолет.}

_{Кэрролл.Не своди глаз со стрелок часов. И в тот момент, когда часы покажут точное время, выстрели из пистолета. Всякий, кто услышит твой выстрел, будет знать, что наступило ровно 8 часов.}

Льюис Кэрролл — псевдоним скромного преподавателя математики из колледжа Крайст Черч в Оксфорде Чарлза Лютвиджа Доджсона. Ему принадлежит заметка «Какие часы лучше?» о «сумасшедших» часах [23].

Каким образом Кэрролл определил, как часто часы, отстающие ежесуточно на 1 мин, показывают точное время? Поскольку часы каждые сутки отстают на 1 мин, они покажут точное время, когда отстанут на 12 часов, то есть через 720 суток.

Загадочное колесо

_{Парадокс Льюиса Кэрролла с часами — не более чем шутка, выдержанная в лучших традициях английского нонсенса. А вот «серьезный» парадокс, заслуживающий самого пристального внимания. Знаете ли вы, что верхняя часть велосипедного колеса движется быстрее, чем нижняя?}

_{Именно поэтому спицы в верхней половине катящегося велосипедного колеса сливаются в сплошной блестящий диск.}

_{Взгляните на два последовательных положения колеса. Точка Авблизи вершины проделала гораздо больший путь, чем точка Ввблизи основания. Скорость — это расстояние, проходимое в единицу времени. Следовательно, точка Адвижется быстрее точки В. Верно?}

О каких скоростях идет речь, когда говорят, что верхняя часть катящегося колеса движется быстрее нижней? Разумеется, о скоростях относительно земли.

Парадокс легко решается, если рассмотреть кривую, известную под названием «циклоида». Любая точка на ободе колеса, катящегося по прямой, описывает циклоиду. В точке касания колеса с поверхностью земли скорость равна нулю. Оторвавшись от земли при качении колеса, точка на ободе начинает разгоняться и в верхней точке движется с максимальной скоростью.

Затем по мере приближения к земле движение точки на ободе замедляется, и в новую точку касания она приходит с нулевой скоростью. На колесах железнодорожных вагонов имеются выступы — реборды. Когда колесо катится по рельсу, точка на ободе реборды, описывая небольшую петлю, расположенную ниже уровня рельса, какое-то время движется назад.

Циклоида обладает множеством красивых математических и механических свойств. Одна из глав моей «Шестой книги математических забав» из журнала Scientific Americanназывается «Циклоида — Елена Прекрасная геометрии». В ней, в частности, рассказывается, как начертить циклоиду с помощью катящейся банки из-под кофе. Построим циклоиду и выведя ее уравнение, вы сможете лучше оценить изящество этой кривой и ее необычные свойства.

Разочарованный лыжник

_{Лыжник.Какой великолепный день! Вот если бы только скорость подъемника была больше 5 км/ч!}

_{Предположим, что лыжник захочет поднять среднюю скорость, развиваемую на подъеме и спуске, до 10 км/ч. С какой скоростью он должен съезжать с горы?}

_{15 км/ч? 60 км/ч? 100 км/ч? Хотя в это трудно поверить, но единственный способ поднять среднюю скорость до 10 км/ч для лыжника состоит в том, чтобы съехать за нулевое время!}

Сначала кажется, что решение парадокса как-то связано с расстоянием, проходимым лыжником при подъеме и спуске. Но в действительности оно несущественно. Лыжник преодолевает какое-то расстояние, поднимаясь на гору, и хотел бы спуститься со скоростью, при которой средняя скорость при подъеме и спуске была бы вдвое больше скорости при подъеме.