А ну-ка, догадайся!

Психолог Стенли Милгрэм подошел к решению парадокса «Мир тесен» с другой стороны: он отобрал наугад группу «отправителей». Каждому из отправителей Милгрэм вручил некий документ с просьбой передать его незнакомому «получателю», живущему в отдаленном штате. Получив документ, отправитель пересылал его по почте тому из своих близких знакомых, кто, по его мнению, с наибольшей вероятностью мог знать получателя. Знакомый в свою очередь пересылал документ своему знакомому и т. д., пока наконец документ не доходил до получателя. Милгрэм обнаружил, что число посредников между отправителем и получателем колебалось от 2 до 10 с медианой, равной 5. (На вопрос о том, сколько посредников понадобится для пересылки документа, люди обычно отвечали, что около 100.)

Исследование Милгрэма показало, сколь тесно связаны между собой люди сетью общих знакомых.

Поэтому нет ничего удивительного в том, что двое людей, впервые видящих друг друга, встретившись далеко от дома, обнаружили общего знакомого. Сеть общих знакомых позволяет объяснить и другие странные на первый взгляд статистические явления, например необычайную скорость, с которой распространяются слухи, сенсационные новости, конфиденциальная информация и анекдоты.

Под каким знаком зодиака вы родились?

_{Эти четверо людей встретились впервые. Разве не удивительно, что по крайней мере двое из них родились под одним знаком зодиака?}

Возможно, совпадение покажется вам удивительным, но в действительности оно случается в 4 случаях из 10. Предположим, что каждый из четырех людей мог с равной вероятностью родиться под любым из 12 знаков зодиака. Какова вероятность того, что по крайней мере двое из четырех родились под одним знаком зодиака?

Рассмотрим задачу на модели — специально подготовленной колоде карт. Извлечем из колоды и отложим в сторону четырех королей. В колоде останется по 12 карт каждой из четырех мастей. Каждая масть соответствует одному из четырех людей, каждое значение карты — одному из знаков зодиака.

Извлечем наугад по одной карте каждой масти.

Какова вероятность, что значения по крайней мере двух карт будут совпадать? Найти эту вероятность означает найти вероятность того, что по крайней мере два из четырех незнакомых между собой людей родились под одним знаком зодиака.

Эту задачу проще всего решить, вычислив вероятность того, что значения любых двух карт не совпадают. Если вычисленную вероятность вычесть из единицы, то получится вероятность того, что значения по крайней мере двух карт совпадают, которую и требуется найти.

Если мы возьмем карты двух мастей, например червовой и пиковой, то вероятность того, что значения любых двух карт не совпадают, равна 11/12, так как существует лишь 1 шанс против 12, что какая-то карта червовой масти совпадает по значению с картой пиковой масти. Вероятность того, что трефовая карта отличается по значению от червовой и пиковой, равна 10/12, а вероятность того, что бубновая карта отличается по значению от червовой, пиковой и трефовой, равна 9/12. Произведение этих трех дробей дает нам вероятность того, что никакие две из четырех карт не совпадают. Она равна 55/96.

Вычитая ее из единицы, получаем 41/96. Следовательно, вероятность того, что по крайней мере двое из четырех незнакомых между собой людей родились под одним знаком зодиака, составляет около 4/10, то есть почти 1/2, поэтому совпадение знаков вряд ли можно считать столь удивительным.

Парадокс со знаками зодиака — вариант хорошо известного парадокса с днями рождения. Выберем наугад 23 человека. С вероятностью чуть больше 1/2, по крайней мере двое из них родились в один и тот же день одного и того же месяца. Вычисления аналогичны проделанным выше, только умножать на этот раз приходится 22 дроби:

Вероятность того, что по крайней мере 2 из 23 людей родились в один и тот же день одного и того же месяца, равна разности 1 минус произведение 22 дробей, или 0,5073…, то есть чуть больше 1/2. В правильности этого утверждения нетрудно убедится с помощью микрокалькулятора. Если число выбранных наугад людей больше 23, то вероятность совпадения дней рождения по крайней мере у двоих из них быстро возрастает. Так, если наугад выбрано 30 человек, то эта вероятность равна 7/10. Если же выбрано 100 человек, то шансы на совпадение повышаются примерно до 3 000000 против 1.

Предлагаем вам несколько вопросов для размышления.

1. Выбрано наугад n человек. Начиная с какого n вероятность того, что по крайней мере двое из них родились в одном месяце, больше 1/2? (Ответ: начиная с n = 5, когда вероятность совпадения месяца равна 89/144 примерно = 0,62.)

2. Выбрано наугад n человек. Начиная с какого n вероятность того, что по крайней мере двое из них родились в один день недели, больше 1/2? (Ответ: начиная с 4, когда вероятность совпадения дня недели равна 223/343 примерно = 0,65.)