Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Сделанное Кантором открытие того, что имеется бесконечность большая, чем бесконечность натуральных чисел, было одним из величайших математических прорывов XIX столетия. Это сногсшибательный результат, и сила его не в последнюю очередь определяется тем, что его совсем несложно объяснить: некоторые бесконечности — счетные, и их размер равен ℵ₀, а некоторые бесконечности — не счетные, а потому большие. И эти несчетные бесконечности тоже могут иметь различные размеры.

Самая простая для понимания несчетная бесконечность называется с, она выражает число людей, прибывших в Гильбертов отель одетыми в футболки со всеми десятичными разложениями между 0 и 1. Подобно тому, что мы делали выше, поучительно интерпретировать с, глядя на числовую прямую. Каждый персонаж с десятичным разложением между 0 и 1 на футболке можно также понимать как точку на прямой, лежащую между 0 и 1. Символ с был исходно выбран потому, что он напоминает о слове «континуум» — непрерывном множестве точек на числовой прямой.

И здесь мы подошли к еще одному странному результату. Мы знаем, что имеется с точек, лежащих между 0 и 1, но при этом мы также знаем, что имеется ℵ₀ дробей на всей числовой прямой, взятой целиком. Поскольку мы доказали, что с превосходит ℵ₀, получается, что на отрезке прямой между 0 и 1 помещается больше точек, чем имеется точек, представляющих дроби на всей числовой прямой.

Кантор снова завел нас в мир, противоречащий интуиции. Дроби, хоть их и бесконечно много, ответственны только за очень малую, просто крохотную часть числовой прямой. Они рассыпаны там гораздо реже, чем числа того другого типа, которые в основном и составляют числовую прямую, — числа, которые нельзя выразить в виде обыкновенной дроби, то есть наши старые друзья — иррациональные числа. Оказывается, что иррациональные числа сидят на числовой прямой настолько плотно, что в любом конечном интервале их больше, чем дробей на всей числовой прямой.

Мы определили с как число точек на числовой прямой, заключенных в интервале между 0 и 1. Сколь много точек имеется между 0 и 2 или между 0 и 100? В точности c. На самом деле между любыми двумя точками на числовой прямой имеется ровно c точек, независимо от того, насколько далеко друг от друга располагаются выбранные концы. Но еще более поразительным является то, что совокупность точек на всей числовой прямой также есть c, что видно из следующего доказательства, проиллюстрированного на рисунке.

Наша цель — показать, что имеется взаимнооднозначное соответствие между точками, лежащими между 0 и 1, и точками на всей числовой прямой. Для этого найдем для каждой точки на числовой прямой пару из отрезка от 0 до 1. Сначала нарисуем полуокружность, висящую над этим отрезком. Эта полуокружность играет роль посредника в том плане, что она организует в пары точки, лежащие между 0 и 1, и точки на всей числовой прямой. Возьмем любую точку на числовой прямой, обозначенную буквой а, и проведем прямую линию из a к центру окружности. Эта прямая пересекает полуокружность в точке, которая единственным образом определяет расстояние между 0 и 1, обозначенное a', если провести прямую вертикально вниз до пересечения с числовой прямой. Организуем пару из каждой точки a и точки a', которая однозначно определяется для нее указанным выше способом. Когда выбранная точка а устремляется к плюс бесконечности, соответствующая точка между 0 и 1 приближается к 1, а когда выбранная точка устремляется к минус бесконечности, соответствующая точка приближается к 0. Если каждую точку на числовой прямой можно соединить в пару с единственной точкой, лежащей между 0 и 1, и наоборот, то, значит, число точек на числовой прямой равно числу точек, лежащих между 0 и 1.

Различие между ℵ₀ и c — это различие между числом точек на числовой прямой, представимых в виде дробей, и полным числом точек, включая дроби и иррациональные числа. Однако разрыв между ℵ₀ и c столь огромен, что если бы мы наугад выбирали точки на числовой прямой, то вероятность выбрать дробь была бы равна нулю. По сравнению с несчетной бесконечностью иррациональных чисел дробей, можно сказать, попросту очень мало.

* * *

С каким бы трудом идеи Кантора ни воспринимались поначалу, история реабилитировала его трактовку числа алеф; не только сам алеф прижился среди чисел практически повсеместно, но и зигзаговые и диагональные доказательства по всеобщему признанию были провозглашены наиболее яркими во всей математике. Давид Гильберт заявил, что «никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором».