Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

В тринадцатой, заключительной, книге «Начал» Евклид доказал, почему имеется только пять Платоновых тел. Он рассмотрел все объемные объекты, которые можно собрать из правильных многоугольников: сначала равносторонний треугольник, затем квадраты, пятиугольники, шестиугольники и т. д. На рисунке показано, как он пришел к своему выводу. Чтобы построить объемный объект из многоугольников, необходима точка, в которой сходятся три стороны: такой угол называется вершиной. При соединении в вершине, например, трех равносторонних треугольников получается тетраэдр (А). При соединении четырех — пирамида (В). Такая пирамида — не платоново тело, потому что не все стороны у нее одинаковы, но, приклеив к ее дну отраженную пирамиду, получаем октаэдр — платоново тело. Соединение вместе пяти равносторонних треугольников дает начало икосаэдру (С), а вот соединение шести — плоский лист бумаги (D). Не удается сконструировать телесный угол из шести равносторонних треугольников, так что нет других способов сделать из них какие-либо Платоновы тела. Повторение той же процедуры с квадратами показывает, что есть только один способ соединить три квадрата в угол (E). Это построение приведет к кубу. Соединение четырех квадратов дает плоский лист бумаги (F). Из квадратов более не удается построить Платоновых тел. Аналогичным образом, три пятиугольника образуют телесный угол, который можно достроить до додекаэдра (G). Невозможно соединить четыре пятиугольника. Три шестиугольника, соединяющиеся в одной точке, уже лежат в одной плоскости (H), так что из них невозможно создать объемный объект. Больше Платоновых тел нет, поскольку невозможно соединить в вершине три правильных многоугольника с более чем шестью сторонами.

Доказательство того, что имеется только пять Платоновых тел

* * *

Математики продолжили работу Евклида, и это позволило им решить множество проблем, относящихся к реальному миру. Например, в 1471 году немецкий математик и астроном Региомонтанус (Иоанн Мюллер) написал своему другу письмо, в котором задал такую задачу: «Из какой точки на земле перпендикулярно стоящий стержень кажется самым большим?» То была перефразировка «задачи о статуе». Представьте себе, что перед вами на пьедестале установлена статуя. Когда вы подходите к ней слишком близко, приходится задирать голову, и угол, под которым она видна, очень узкий. Когда же вы отошли далеко, приходится напрягать глаза, и статуя, опять же, видна под очень малым углом. Где расположено наилучшее место для обзора статуи?

Взглянем на статую сбоку, как показано на рисунке. Нам нужно найти точку на пунктирной линии, отвечающей уровню глаз, так, чтобы угол, под которым видна статуя, был бы наибольшим. Решение можно извлечь из третьей книги «Начал», посвященной окружностям. Угол максимален, когда окружность, проходящая через верх и низ статуи, касается пунктирной линии.

Задача о статуе

Однако самый, быть может, ошеломляющий результат в евклидовой геометрии — это тот, в котором выявляется потрясающее свойство треугольников. Для начала найдем, где находится центр треугольника. Это на удивление неочевидное понятие. Имеется четыре способа определить центр треугольника, и все они представляют собой различные точки (за исключением случая, когда треугольник равносторонний, — тогда эти точки совпадают друг с другом). Первый называется ортоцентром — это пересечение перпендикуляров, проведенных из каждой вершины к противолежащей ей стороне (сами эти линии называются высотами). Уже довольно занятен тот факт, что в любом треугольнике его высоты всегда пересекаются в одной и той же точке. Второй кандидат на центр треугольника — это центр описанной окружности, лежащий на пересечении перпендикуляров, проведенных из середины каждой стороны. Опять же, очень мило, что эти линии всегда пересекаются[17], какой бы треугольник вы ни выбрали. Третий кандидат — центроид, представляющий собой пересечение линий, идущих от вершин к серединам противолежащих сторон. Они тоже всегда пересекаются. И наконец, имеется окружность шести точек — это окружность, проходящая через середину каждой стороны, а также через пересечения сторон и высот[18]. У каждого треугольника есть окружность шести точек, и ее центр — четвертый кандидат на среднюю точку треугольника. В 1767 году Леонард Эйлер доказал, что у каждого треугольника его ортоцентр, центр описанной окружности, центроид и центр окружности шести точек всегда лежат на одной прямой. Полный улет — независимо от вида треугольника эти четыре точки сохраняют ослепительно единообразное взаимоотношение друг с другом! Присутствующая здесь гармония поистине чудесна. Пифагор, надо думать, просто ликовал бы.

Построение прямой Эйлера

* * *