Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

В написанном Карлом Саганом бестселлере «Контакт» инопланетянин предупреждает женщину на Земле, что после определенного количества цифр случайность в числе π исчезнет и там появится сообщение, записанное нулями и единицами. Это послание появится после десятичного разряда с номером 10²⁰ — что представляет собой единицу с двадцатью нулями. Поскольку к настоящему моменту мы добрались «только» то 2,7 триллиона разрядов (число 27 с и нулями), то надо еще немного постараться, чтобы проверить, действительно ли там есть что-то в этом роде. На самом деле придется продвинуться даже еще чуть дальше, потому что послание, по-видимому, записано в 11-ричной системе.

Мысль о том, что в числе π есть закономерность, способна любому вскружить голову. Математики стали выискивать какие-либо указания на порядок в десятичных разложениях числа π, как только они появились. Иррациональность π означает, что цифры следуют друг за другом без какого-либо повторяющегося порядка, но это не исключает возможности появления упорядоченных кусков — таких, как послание, записанное нулями и единицами. До сих пор, однако, никто не нашел ничего важного. Хотя, надо сказать, у π есть свои причуды. Первый 0 появляется только на 32-м месте, что намного позже, чем можно было бы ожидать, коль скоро цифры распределены случайно. Первый раз, когда какая-либо цифра повторяется шесть раз подряд, наступает на 762-м десятичном знаке (и это 999 999). Вероятность столь раннего повторения шести девяток — если их появление случайно — меньше 0,1 процента. Эта последовательность известна как точка Фейнмана — выдающийся физик Ричард Фейнман однажды заметил, что хотел бы запомнить число π именно до этого места и закончить словами «девять, девять, девять, девять, девять, девять и так далее». Следующий раз, когда последовательно выпадают шесть одинаковых цифр, случается на 193 034-м месте, и цифры эти — снова девятки. Не послание ли это извне, и если да — то о чем оно?

Число считается нормальным, если каждая из его цифр от 0 до 9 появляется в его десятичном разложении с равной частотой. Нормально ли π? Канада изучил первые 200 миллиардов цифр числа π и нашел, что цифры появляются со следующими частотами:

0	20 000 030 841
1	19 999 914 711
2	20 000 136 978
3	20 000 069 393
4	19 999 921 691
5	19 999 917 053
6	19 999 881 515
7	19 999 967 594
8	20 000 291 044
9	19 999 869 180

Только цифра 8 кажется несколько избыточной, однако отличие статистически несущественно. Казалось бы, число π нормально, но никто не смог этого доказать. И никто не смог доказать, что такое доказательство невозможно. Поэтому есть шанс, что π не нормально. Быть может, вслед за 10²⁰ знаками и правда идут только 0 и 1?

Другой, но связанный с предыдущим вопрос — это вопрос о положении чисел. Распределены ли они случайно? Стэн Вейгин проанализировал первые 10 миллионов цифр числа π на «покерный тест»: возьмем пять последовательных цифр и рассмотрим их, как если бы это были карты, сданные вам при игре в покер.

Расклад	Реальная частота события	Ожидаемая частота события
Все цифры различны	604 976	604 800
Одна пара, три различны	1 007 151	1 008 000
Две пары	216 520	216 000
Три одинаковые	144 375	144 000
Фулл хаус	17 891	18 000
Четыре одинаковые	8887	9000
Пять одинаковых	200	200

В правом столбце показано, сколько раз можно было бы ожидать появления того или иного расклада, если число π нормально и если на каждой десятичной позиции с равным шансом могла бы стоять любая цифра. Результаты оказываются вполне в границах ожидаемого. Видно, что каждый расклад чисел появляется с правильной частотой, как было бы, если бы числа на каждой десятичной позиции генерировались случайным образом.

Имеются веб-сайты, на которых можно узнать, когда в числе π впервые появляется дата вашего рождения. Первое появление последовательности 0123456789 происходит на 17 387 594 880-м месте — что было установлено только после того, как Канада добрался туда в 1997 году.

Я спросил у Грегори, полагал ли он когда-либо, что в числе π может найтись какой-то порядок.

— Нет там никакого порядка, — бросил он довольно презрительно. — А если бы он там и был, то это было бы ненормально и неправильно. Так что нет смысла тратить на это время.

Вместо того чтобы искать закономерности в числе π, некоторые воспринимают его случайную природу как колоссальное выражение математической красоты. Число π — предопределенное, но при этом оно, по-видимому, необычайно хорошо имитирует случайность.

— Это очень хорошее случайное число, — соглашается Грегори.