Алиса в стране математики

Третьей знаменитой задачей древности была задача о «трисекции угла»: как с помощью циркуля и линейки разделить любой угол на три равные части? Эта задача продержалась также больше двух тысячелетий и «победил» её тот же самый Ванцель — доказал, что она неразрешима.

Этот угол разделен примерно на три равные части

«Три знаменитые задачи древности» стали знаменитыми не только потому, что каждая из них оказалась крепким орешком: они сослужили добрую службу математике, потому что при попытках их решения рождались новые области этой науки.

А сейчас мы расскажем о задаче, отсутствие решения у которой изменило весь ход развития математики.

Вот эта задача: как измерить точно длину любого отрезка?

Начать, конечно, надо с выбора «единицы измерения», то есть отрезка, длина которого принята за единицу. А потом надо откладывать эту «единицу» вдоль того отрезка, который мы хотим измерить. Если, например, единичный отрезок умещается в нашем отрезке ровно три раза, мы говорим, что длина отрезка равна трём единицам.

А если три «единицы» не умещаются, а двух — мало? Ничего страшного: надо только вспомнить о дробных числах! Разделим нашу «единицу» на равные части и возьмём новую меру — часть единицы. А поскольку единичный отрезок можно делить на любое число равных частей, то, казалось бы, всегда можно найти такую малую долю единицы, которая умещалась бы на нашем отрезке целое число раз.

По крайней мере так казалось древним грекам. Более того, они были в этом совершенно уверены! Ведь они считали, что целые числа лежат в основе всего мироздания — помните слова Пифагора: «число есть начало всех вещей»?

И надо же: случилось так, что именно Пифагор открыл, что это неверно! Из знаменитой теоремы Пифагора, которую изучают сегодня во всех школах, следовал поразительный вывод: если сторону квадрата принять за единицу, то диагональ этого же квадрата измерить точно невозможно, потому что не существует таких долей единицы, которые укладываются на диагонали целое число раз, какими бы малыми ни были эти доли!

Открытие Пифагора заставило учёных задуматься: можно ли делить отрезок на всё меньшие и меньшие части без конца? Через две тысячи лет эти размышления привели к великим открытиям, о которых мы скоро расскажем.

НЕБЫЛИЦА О ПИФАГОРЕ, КОТОРУЮ ТРУДНО ОТЛИЧИТЬ ОТ БЫЛИ

Говорят, что Аполлона
Он любимым сыном был,
Что всю мудрость Вавилона
Он познал, когда там жил,

Что он слышал, как планеты

Песнь поют в тиши ночей,
Что учил он: числа — это
Есть начало всех вещей,

Что медведицу словами

Мог он перевоспитать,
Мог беседовать с быками,
Сны надёжно толковать,

Что в пещере целый месяц

Он совсем один прожил,
Что любил число он десять,
А семнадцать — не любил,

Что остановить он речью

Мог разбег морских валов,
Что река ему навстречу
Поднялась из берегов...

Где тут быль, где небылица —

Неизвестно до сих пор.
Но в преданьях говорится,
Что таков был Пифагор.

КАК СЪЕСТЬ ЦЕЛЫЙ ТОРТ?

Шляпник сразу же стал вытаскивать блюдо с тортом из-под Сони. Однако Заяц вцепился в блюдо с другой стороны и стал тянуть в противоположную сторону. Блюдо рывками ездило по столу туда-сюда, и всё это время Соня сквозь сон быстро ел торт. Наблюдая эту сцену, Алиса смеялась до слёз.

Когда Шляпнику удалось, наконец, вырвать блюдо, оно было таким чистым, будто на нём никогда и не бывало шоколадного торта! Зато Соня был весь в шоколаде и сладко облизывался, продолжая спать.

Шляпник посмотрел на пустое блюдо и увидел в нём себя — полированное блюдо отражало, как зеркало!

— Привет, дружище! — приподняв цилиндр, обратился Шляпник к своему отражению, и оно ответило ему тем же. — Теперь ты застрял тут надолго — может быть, навсегда: похоже, что шесть часов так и не наступят...

— Мне кажется, шесть часов тут ни при чём, — вмешалась Алиса в разговор Шляпника с его отражением. — Ведь для того, чтобы наступил любой момент времени, должны пройти все предыдущие моменты, а их бесконечно много...

— В том-то и дело! — подхватил Шляпник. — В одной только секунде и то бесконечно много моментов! Как же они все могут пройти?

— Но время всё-таки идёт... — попыталась возразить Алиса.

— Оно стоит! — вскричал Шляпник, показывая на часы. — Разве ты не видишь, что оно стоит?

— А Соне всё-таки достался целый торт одному! — в наступившей тишине заметил Заяц.