Античная философия

В соответствии с этим в математическом доказательстве причина, или основание, есть понятие, посредствующее между другими понятиями: оно подчинено одному из них и подчиняет себе другое. В анализируемых Аристотелем примерах (построение треугольника, вписанного в полукруг и опирающегося основанием на его диаметр, а также доказательство, что вписанный в полукруг угол равен прямому углу) Аристотель совмещает собственно математическую разработку доказательства с логическим анализом отношения его понятий. Он рассматривает математические отношения математических объектов как логические отношения классификации и включения понятий, образующих систему подчинения по объему. В таких доказательствах то, что представляется единичным, рассматривается как вид рода или как часть вида. Другими словами, математическое доказательство, по Аристотелю, выясняет системную связь и зависимость понятий по объему и есть не что иное, как некий род их классификации. Это понимание доказательства преодолевало важный пробел теории познания Платона. У Аристотеля методом науки становится доказательство. Изображенный Платоном процесс деления обретает недостававшее ему посредствующее звено. Впервые теперь деление получает основание: нет необходимости, как раньше, постулировать каждый из его шагов. Доказательство как метод науки шире платоновского деления («диайрезиса»): «Легко усмотреть, что деление по родам составляет только незначительную часть изложенного нами метода… при делении то, что должно быть доказано, постулируется, но при этом всегда что-нибудь выводится из более общих [понятий]». [25]

Однако Аристотель вводит в учение о применимости доказательства важное ограничение. Обусловлено оно его убеждением в том, что общность может существовать только между подчиненными одно другому понятиями. Каждая отдельная наука имеет свой особый высший род, но переход от одного рода к другому невозможен: между понятиями, образующими координацию, нет и не может быть общего. «Нельзя, следовательно, — утверждает Аристотель, — вести доказательство так, чтобы из одного рода переходить в другой… нельзя геометрическое положение доказать при помощи арифметики» [5,1,7]; «…арифметическое доказательство всегда имеет дело с тем родом, относительно которого ведется [это] доказательство» [там же]; «…[вообще] нельзя доказать посредством одной науки [положения] другой, за исключением тех [случаев], когда [науки] так относятся друг к другу, что одна подчинена другой, каково, например, отношение оптики к геометрии и гармонии — к арифметике» [там же].

Недоказуемые элементы

Всякое доказательство опирается на некоторые положения, как на исходные начала. Иногда начала, в свою очередь, выводятся из некоторых предшествующих им начал посредством нового доказательства. Однако этот процесс восхождения от начал недоказуемых в пределах данного доказательства к их обоснованию посредством нового доказательства, не может идти в бесконечность. Согласно выражению Аристотеля, «по направлению вверх» идут и относящиеся к сущности и случайные признаки, «однако и то и другое не бесконечно. Необходимо, следовательно, должно быть нечто, чему что-то приписывается первично… и здесь должен быть предел и должно быть нечто, что больше не приписывается другому предшествующему и чему другое предшествующее [больше не приписывается]» [5, I, 22, 88 в].

Так обстоит дело с познанием свойств, приписываемых единичным «сущностям». В их иерархии есть предел для восхождения и нисхождения. Но существует также и предел для доказательства приписываемых свойств; «…ни по направлению вверх, ни по направлению вниз приписываемое не может быть бесконечным в рассматриваемых [нами] науках, дающих доказательства» [там же, 84 а]. То, что содержится в существе вещей, «не бесконечно, в противном случае невозможно было бы [их] определение. Так что если все приписываемое обозначается как [присущее] само по себе, а то, что есть само по себе, не бесконечно, то существует предел по направлению вверх и, следовательно, по направлению вниз» [там же]. Отсюда Аристотель выводит, что необходимо должны быть начала доказательств и что нет доказательства всего [см. там же]. В конце концов, мы дойдем до начал, составляющих независимую основу всех зависимых от них положений: эти начала уже не доказываются.

Аристотель различает три вида недоказуемых начал: 1) аксиомы; 2) предположения; 3) постулаты.