Апология математики, или О математике как части духовной культуры

Упоминавшийся уже Дедекинд называл числа свободными творениями человеческого духа (а книга Дедекинда, в которой была провозглашена эта формула, сама имела примечательное название: «Was sind und was sollen die Zahlen» - «Что такое числа и каково их назначение»). Для понимания сущности чисел важно помнить, что число есть понятие абстрактное. Никакое число, даже число, скажем, два, нельзя ни увидеть, ни услышать. Увидеть можно два стола или двух слонов, а услышать можно слово «два» - но это совсем другое дело. Полезно отметить, что абстрактность понятий не есть отличительная (и потому многих пугающая) черта математики. Если вдуматься, то, скажем, такие физические понятия, как электрон, протон и т. п., весьма абстрактны. На память приходит вопрос, заданный на знаменитом семинаре Гельфанда, действовавшем на механико-математическом факультете Московского университета, одним из участников семинара: «Какой реальный математический смысл имеет эта физическая абстракция?»

Вернёмся, однако, к проблемам, не имеющим решения.

Глава 5. Квадратура круга

Выражение «квадратура круга» прочно вошло в язык в качестве красивого обозначения всякой не имеющей решения задачи. В таком своём значении это выражение используется в расширенном смысле - как метафора. В узком же, буквальном смысле квадратура круга означает некую пришедшую к нам из античности геометрическую задачу, относящуюся к задачам на построение.

Не одно тысячелетие задача о квадратуре круга оставалась костью в горле математики: не получалось ни её решения, ни доказательства отсутствия такового. Постепенно укреплялось мнение о невозможности решения, и в XVIII веке это мнение превратилось в убеждение настолько твёрдое, что академии наук разных стран заявили о прекращении приёма к рассмотрению трактатов, претендующих на решение. Наконец, в конце XIX века вопрос был закрыт: развитие математики позволило доказать, что решения и в самом деле не существует. Понимание того, в чём состоят задачи на построение, и в частности древняя задача о квадратуре круга, входит, на наш взгляд, в общекультурный минимум. Чтобы дать возможность читателю согласиться или не согласиться с этим тезисом, напомним необходимые сведения.

Геометрия требует чертежа, и античные математики делали такие чертежи. Самым удобным и дешёвым способом было чертить на песке. Архимед, величайший учёный древности (да и не только древности!), был убит римским солдатом в 212 году до н. э., во время Второй пунической войны, на Сицилии, в своих родных Сиракузах. По преданию, солдат застал его на песчаном пляже и, взбешённый его словами «Не трогай мои чертежи!», зарубил мечом. Основными элементами чертежей служили прямые линии и окружности. Для их вычерчивания имелись специальные инструменты. Таких инструментов было два: линейка, позволяющая проводить прямые, и циркуль, позволяющий проводить окружности. Под термином циркуль условимся понимать любое устройство, пригодное для заданной цели. Скорее всего, древнейший циркуль состоял из двух палок, соединенных верёвкой; одна палка («игла») втыкалась в песок в центре намеченной окружности, верёвка натягивалась, и второй палкой («писалом», «чертилом», «стилом») чертилась окружность с радиусом, равным длине верёвки. Задача на построение состояла в том, чтобы построить, то есть начертить, геометрическую фигуру с требуемыми свойствами. Вот простейший пример такой задачи: для заданного отрезка требуется построить его середину. Решение: для каждого из концов отрезка проводим окружность с центром в этом конце и с радиусом, равным длине отрезка; далее проводим прямую через те две точки, в которых наши окружности пересеклись; эта прямая пересечёт заданный отрезок в его середине. А вот формулировка задачи о квадратуре круга: для заданного круга требуется построить квадрат, равновеликий (то есть равный по площади) этому кругу. Неразрешимость квадратуры круга доказал в 1882 году немецкий математик Фердинанд Линдеман. Рассказывают, что он завершил доказательство 12 апреля, в день своего тридцатилетия, и, спрошенный друзьями, отчего это он сияет так, словно решил проблему квадратуры круга, отвечал, что так оно и есть. Жена Линдемана была недовольна, что муж удовлетворен той славой, которую заслуженно принесла ему задача о квадратуре круга, и заставляла его доказывать Великую теорему Ферма. Он страдал, но вынужден был подчиняться. Он скончался в 1939 году и, пока был в силах, занимался Проблемой Ферма. Результатом были слабые публикации на эту тему.