Бабочка и ураган

Говоря об американской математической школе, нельзя обойти вниманием фигуру Стивена Смэйла (род. 1930), удостоенного в 1966 году Филдсовской премии за вклад в теорию динамических систем. Смэйл находился под влиянием сразу трех наиболее важных традиций изучения динамических систем и хаоса, а именно: забытой традиции, начатой Пуанкаре, к которой принадлежал Биркхоф; русской математической школы, объединившейся с английской усилиями Соломона Лефшеца во время холодной войны, и, наконец, традиции аналитико-топологического изучения дифференциальных уравнений, начатой Мэри Люси Картрайт (1900–1998) и Джоном Идензором Литлвудом (1883–1977) в Великобритании на основе трудов Ван дер Поля.

Бальтазар Ван дер Поль (1889–1959) был голландским инженером-электронщиком, который в «золотые двадцатые» обнаружил предельный цикл (об этом понятии мы уже говорили в первой главе) в нелинейном дифференциальном уравнении, которое описывало поведение электронных ламп, имевших огромное значение в сфере телекоммуникаций. Это уравнение имело траекторию-решение в форме замкнутой кривой, которая притягивала к себе все ближайшие траектории. В 1945 году, когда союзники вовсю работали над созданием радара, Картрайт и Литлвуд доказали, что в окрестностях этого предельного цикла наблюдалось сложное непериодическое движение — это был хаос!

Несколько позже, в 1950-е, специалист по топологии Стивен Смэйл продолжил качественный анализ динамических систем в поисках теоремы, аналогичной теореме Пуанкаре — Бендиксона, для трехмерного пространства, однако его работы не увенчались успехом. Подобная теорема не сформулирована до сих пор, так как траектории в пространстве могут переплетаться, что крайне усложняет динамику. Существуют трехмерные динамические системы, в которых, помимо центров, фокусов, узлов, седел и предельных циклов, наблюдаются странные аттракторы.

К несчастью для Смэйла, хаос существовал.

Странный аттрактор Рёсслера (1976). Подобно ленте Мёбиуса, он имеет только одну сторону, хотя кажется, что у него две стороны: достаточно проследовать вдоль внешней границы, чтобы увидеть, как она постепенно переходит во внутреннюю.

Изначально Смэйл считал, что почти все (или все) трехмерные динамические системы обладают не слишком странным поведением — почти таким же, как и двухмерные динамические системы на плоскости, все возможные аттракторы которых принадлежали конечному множеству фокусов и предельных циклов. Интерес Смэйла к аттракторам был вызван тем, что они описывали поведение динамической системы в долгосрочном периоде. Эти точки указывали, какими будут системы в далеком будущем, поскольку они испытывают фатальное притяжение к аттракторам, расположенным бесконечно далеко. Смэйл полагал, что единственными видами движения, корректными в долгосрочном периоде, были либо пребывание в состоянии покоя, либо равновесие в стационарном состоянии (в фокусе), либо периодическое повторение некой последовательности движений. Иными словами, система могла либо оставаться неподвижной, либо снова и снова совершать определенные движения. В долгосрочном периоде траекториями системы были точки либо окружности.

Каким же было удивление ученого, когда он, отдыхая на пляжах Рио-де-Жанейро, получил письмо с контрпримером к своей гипотезе. Норман Левинсон, коллега Смэйла из Массачусетского технологического института (MIT), описал динамическую систему, порождавшую нелинейный осциллятор Ван дер Поля, изученный Картрайт и Литлвудом. Эта система имела бесконечное множество периодических орбит и, что еще хуже, в долгосрочном периоде демонстрировала в высшей степени странное поведение: в теории была возможна ситуация, при которой система в будущем не будет оставаться неподвижной и не будет совершать определенные движения снова и снова, а продолжит двигаться совершенно беспорядочным образом. Рассмотрев аналитические работы Левинсона с геометрической точки зрения, Смэйл в 1959 году описал соленоид Смэйла (названный так за внешнее сходство с соленоидом — электромагнитом, состоящим из металлического сердечника, на который намотана проволока), а затем, уже в 1960-е — подкову Смэйла, обладающую крайне сложной динамикой, схожей с той, что демонстрирует система, описанная Левинсоном. Это были два в высшей степени странных аттрактора.

Соленоид Смэйла, представляющий собой тор, трижды обмотанный вокруг другого тора в четырехмерном пространстве.