Базы данных: конспект лекций

2. Свойство идемпотентности:

1) для операции объединения: r ∪ r = r;

2) для операции пересечения: r ∩ r = r;

3) для операции разности: r \ r ≠ r;

4) для операции декартового произведения (в общем случае, свойство не применимо);

5) для операции естественного соединения: r × r = r.

Интересно, что свойство идемпотентности верно не для всех операций из приведенных, а для операции декартового произведения оно и вовсе не применимо. Действительно, если объединить, пересечь или естественно соединить какое-либо отношение само с собой, оно не изменится. А вот если отнять от отношения точно равное ему отношение, в результате получится пустое отношение.

3. Свойство коммутативности:

1) для операции объединения:

r₁ ∪ r₂ = r₂ ∪ r₁;

2) для операции пересечения:

r ∩ r = r ∩ r;

3) для операции разности:

r₁ \ r₂ ≠ r₂ \ r₁;

4) для операции декартового произведения:

r₁ × r₂ = r₂ × r₁;

5) для операции естественного соединения:

r₁ × r₂ = r₂ × r₁.

Свойство коммутативности выполняется для всех операций, кроме операции разности. Это легко понять, ведь от перестановки отношений местами их состав (кортежи) не меняется. А при применении операции разности важно, какое из отношений-операндов стоит на первом месте, потому что от этого зависит, кортежи какого отношения примутся за эталонные, т. е. с какими кортежами будут сравниваться другие кортежи на предмет исключения.

4. Свойство ассоциативности:

1) для операции объединения:

(r₁ ∪ r₂) ∪ r₃ = r₁ ∪(r₂ ∪ r₃);

2) для операции пересечения:

(r₁ ∩ r₂) ∩ r₃ = r₁ ∩ (r₂ ∩ r₃);

3) для операции разности:

(r₁ \ r₂) \ r₃ ≠ r₁ \ (r₂ \ r₃);

4) для операции декартового произведения:

(r₁ × r₂) × r₃ = r₁ × (r₂ × r₃);

5) для операции естественного соединения:

(r₁ × r₂) × r₃ = r₁ × (r₂ × r₃).

И снова мы видим, что свойство выполняется для всех операций, кроме операции разности. Объясняется это таким же образом, как и в случае применения свойства коммутативности. По большому счету, операциям объединения, пересечения, разности и естественного соединения все равно в каком порядке стоят отношения-операнды. Но при «отнимании» отношений друг от друга порядок играет главенствующую роль.

На основании вышеприведенных свойств и рассуждений можно сделать следующий вывод: три последних свойства, а именно свойство идемпотентности, коммутативности и ассоциативности, верны для всех рассмотренных нами операций, кроме операции разности двух отношений, для которой не выполнилось вообще ни одно из трех означенных свойств, и только в одном случае свойство оказалось неприменимым.

4. Варианты операций соединения

Используя как основу рассмотренные ранее унарные операции выборки, проекции, переименования и бинарные операции объединения, пересечения, разности, декартова произведения и естественного соединения (все они в общем случае называются операциями соединения), мы можем ввести новые операции, выведенные с помощью перечисленных понятий и определений. Подобная деятельность называется составлением вариантов операций соединения.

Первым таким вариантом операций соединения является операция внутреннего соединения по заданному условию соединения.

Операция внутреннего соединения по какому-то определенному условию определяется как производная операция от операций декартового произведения и выборки.

Запишем формульное определение этой операции:

r₁(S₁) × _P r₂(S₂) = σ <P> (r₁ × r₂), S₁ ∩ S₂ = ∅;

Здесь P = P <S₁ ∪ S₂> – условие, накладываемое на объединение двух схем исходных отношений-операндов. Именно по этому условию и происходит отбор кортежей из отношений r₁ и r₂ в результирующее отношение.

Следует отметить, что операция внутреннего соединения может применяться к отношениям с разными схемами отношений. Эти схемы могут быть любыми, но они ни в коем случае не должны пересекаться.

Кортежи исходных отношений-операндов, попавшие в результат операции внутреннего соединения, называются соединимыми кортежами.

Для наглядного иллюстрирования работы операции внутреннего соединения, приведем следующий пример.

Пусть нам даны два отношения r₁(S₁) и r₂(S₂) с различными схемами отношения:

r₁(S₁):

r₂(S₂):

Следующая таблица даст результат применения операции внутреннего соединения по условию P = (b1 = b2).

r₁(S₁) × _P r₂(S₂):

Итак, мы видим, что действительно «слипание» двух таблиц, представляющих отношения, произошло именно по тем кортежам, в которых выполняется условие операции внутреннего соединения P = (b1 = b2).

Теперь на основании уже введенной операции внутреннего соединения мы можем ввести операцию левого внешнего соединения и правого внешнего соединения. Поясним.