Бернард Больцано

Вместе с Лейбницем Больцано отстаивает в математике актуально бесконечное, подробно разбирая недостатки понимания бесконечного рядом математиков и философов. К гегелевскому определению бесконечного он относится двояко. Когда Гегель пренебрежительно говорит о так называемой дурной бесконечности, Больцано с ним согласен: «Если… Гегель, Эрдман и другие представляют себе математическую бесконечность только как величину, которая изменяется и не имеет границ в своем возрастании… то я охотно присоединяюсь к ним в отрицательном отношении к этому понятию о величине, которая только бесконечно возрастает, но никогда не достигает бесконечности» (8, 12). Но Гегель и его последователи рассматривают бесконечное только как качественное бесконечное и находят его в боге, в абсолютной идее. Больцано совершенно правильно замечает, что количественная и качественная бесконечности существуют в единстве: «Я не допускаю только того, чтобы философу известен был какой-либо предмет, которому он был бы вправе приписывать свою бесконечность как качество, не обнаружив раньше в этом предмете в каком-либо отношении бесконечной величины или бесконечного количества» (там же, 13). Заметим, что человек в процессе познания начинает с исследования качественной стороны предметов. Это соответствует движению познания от чувственного к логическому. Что касается бесконечного, то его исследование предполагает уже довольно высокую степень развития абстрактного, теоретического мышления, поэтому Больцано прав, говоря, что количественные характеристики бесконечного обнаруживаются прежде, чем качественные.

Больцано считает, что определение многими математиками бесконечного как предела изменения величины неверно. Ноль, например, не может рассматриваться как бесконечно малая величина. Неверно, по мнению философа, и определение, которое дает Спиноза, ибо оно слишком узко. Для Спинозы бесконечным является только то, что не способно к дальнейшему увеличению. Но ведь математик не только прибавляет к бесконечной величине конечную, но может производить над бесконечными величинами различные операции: прибавляет к одной бесконечной величине другую, умножает их и т. д.

Больцано является предшественником Кантора в создании теории множеств. Кантор высоко оценивает творчество чешского математика, отмечая при этом и его недостатки. «Больцано, — пишет он, — может быть, единственный, у кого собственно бесконечные числа получают определенные права, по крайней мере о них многократно говорится; однако я с ним не согласен как раз в том, как он с ними обращается, не давая им настоящего определения, и считаю, например, § 29–33 этой книги („Парадоксы бесконечного“. — В. К.) беспочвенными и ошибочными. Автору не хватало для настоящей формулировки понятия определенно бесконечных чисел общего понятия множества и точного понятия количества. Хотя оба понятия и выступают у него в отдельных местах в зародыше и в виде частных случаев, однако он не доходит, как мне кажется, до полной ясности и определенности; этим объясняются многие непоследовательности и даже ошибки этого ценного сочинения» (42, 26).

При анализе свойств бесконечного Больцано исходит из диалектики части и целого, формы и содержания. Свойства целого не могут быть теми же, что и свойства частей. Целое приобретает ряд новых свойств, отличных от свойств частей. Больцано различает свойства частей предмета и свойства структуры предмета как целого, т. е. свойства, которые возникают вследствие отношений между частями. Если части не обладают некоторым свойством, то должно ли оно также отсутствовать в целом? По Больцано, каждое целое имеет и должно иметь много таких свойств, которых нет у частей. Автомат имеет свойство подражать движениям живого человека; отдельные же его части — пружины, колеса и пр. — лишены этого свойства (см. 8, 68. 21, 2, 389). Поэтому математические операции с бесконечными величинами должны отличаться от операций с конечными величинами, являющимися частями бесконечных. Правда, Больцано не всегда следует своим в принципе верным положениям и в конкретных примерах неудачно использует правила, действительные в области конечных величин, для операций с бесконечными множествами.

Больцано близко подходит к пониманию мощности множества, к определению бесконечного множества как множества, элементы которого могут находиться во взаимооднозначном соответствии с какой-либо правильной его частью. Он указывает на общий характер открытой еще Галилеем связи однозначного соответствия двух рядов чисел 1, 2, 3, 4…; 1, 4, 9, 16…, не замечаемой, по его словам, до сих пор математиками.