Большая энциклопедия диабетика

Рассмотрим случай диабета I типа, когда естественная секреция инсулина отсутствует, и отбросим вначале факторы физической нагрузки и неоднозначности действия внешнего инсулина. Примем также некую идеальную модель питания, когда человек, не испытывающий физических нагрузок (кроме самых необходимых и минимальных), ест в строго определенное время четыре или пять раз в сутки и за каждый прием пищи поглощает строго определенное количество углеводов. В этих идеализированных условиях мы имеем единственную переменную величину: набор искусственных инсулинов, каждый из которых характеризуется определенными функциями действия f(t0, t), где t0 — параметр, определяющий время введения инсулина, а t — текущее время. Примеры этих функций представлены на рисунке 8.2, на графиках 2–8, при t0=0. Набор данных функций, который мы обозначим Ф, конечен, но их имеется не пятьдесят разных видов, а гораздо больше: напомним еще раз, что с точки зрения математики функции для одного и того же инсулина, введенного в разное время, подобны, но сдвинуты по оси времени (то есть с формальной точки зрения это разные функции). Сколько же их? Если считать, что инъекции инсулина разрешены только в дневные часы и могут делаться в любой из временных точек с 8 утра до 23 вечера со скважностью один час, то каждая из приведенных на рисунке 8.2 функций (при t=0, что соответствует 8 утра) порождает еще пятнадцать, сдвинутых по оси t на один, два и так далее часа. Эта дискретизация, разумеется, условна, но позволяет оценить общее количество функций базиса — в данном случае их порядка восьмисот. Чтобы окончательно формализовать обозначение базисных функций, вынесем зависимость от параметра t0 из скобок и запишем Ф = { fj(t) }.

Наша задача: с помощью двух — семи функций из набора Ф аппроксимировать эталонную функцию F(t): где Сj — вес функции fj или, иными словами, j-я доза соответствующего инсулина Напомним, что проблема аппроксимации некой реальной функциональной зависимости с помощью набора базисных функций (обычно заданных математически) является широко распространенной задачей, возникающей в науке и технике. Она решается с помощью метода наименьших квадратов (МНК), с помощью которого можно определить весовые коэффициенты С. Стандартные базисы, которые используются в этом случае — степенной ряд и ряд Фурье — позволяют минимизировать отклонение между левой и правой частями написанного выше выражения и добиться того, что эталонная функция F(t) с высокой точностью представляется с помощью суммы базисных функций, умноженных на весовые коэффициенты. Но высокая точность достигается путем суммирования большого количества членов, то есть разложения F(t) с использованием большого количества базисных функций. В нашем случае это невозможно, так как нельзя делать десятки инъекций инсулина в день.

Итак, если в разложение для F(t) включены две функции, то этот случай соответствует инсулинотерапии с двумя инъекциями пролонгированного инсулина утром и вечером; если включены семь функций, то этот случай соответствует базис-болюсной терапии, когда утром и вечером делаются инъекции смешанным инсулином и в течение дня совершаются еще три подколки «коротким» инсулином. Формально, как уже отмечалось, задача сводится к определению коэффициентов Сj с помощью метода наименьших квадратов и может быть легко решена.

Однако насколько хорошим будет такое решение? Мы могли бы вычислить отклонение между эталонной функцией и аппроксимирующей ее, но в этом нет необходимости: мы сразу можем сказать, что в случае базис-болюсной терапии качество будет вполне приемлемым, а при двух инъекциях пролонгированного инсулина — более низким. Данный вывод следует из вида функций нашего базиса и вида F(t): эталонная функция содержит резкие пики и области плавного «фона», и ее никак нельзя удовлетворительно аппроксимировать парой функций с широкими горбами (см. рис. 8.2, график 3).

Получается, что базис-болюсная терапия — наилучший из выходов? Очень сомнительно! Напомним, что мы рассматривали задачу аппроксимации в идеализированных условиях, а теперь нужно ввести реальные параметры: неоднозначность действия инсулина (зависимость от точки инъекции, температуры и прочих неясных обстоятельств); неизбежные ошибки в питании (ошибки в математическом смысле — то есть разброс количества поглощенных углеводов и скоростей их всасывания); физические нагрузки, влияние которых невозможно учесть с достаточной точностью. Три указанных фактора в каждый момент времени являются величинами неопределенными, но к тому же они действуют одновременно, и влияние их суперпозиции — это, образно говоря, неопределенность в квадрате.

Мы можем учесть их только эмпирически — и, разумеется, довольно грубо.