Большая Советская Энциклопедия (АЛ)

  где q — есть запись числа в десятичной системе, r — такая запись или пустое слово, а р — запись числа в десятичной системе с допущением точек над некоторыми цифрами.

  Работа А. начинается подготовительным шагом, на котором возможное исходное данное преобразуется в начальный член ряда сменяющих друг друга промежуточных результатов; это преобразование происходит на основе специального, входящего в состав рассматриваемого А. «правила начала». Это правило для Ã состоит в применении тождественного преобразования, а для А. вычитания — в замене пары<а, b> на запись

 

  Затем применяется «правило непосредственной переработки», осуществляющее последовательные преобразования каждого возникающего промежуточного результата в следующий. Эти преобразования происходят до тех пор, пока некоторое испытание, которому подвергаются все промежуточные результаты по мере их возникновения, не покажет, что данный промежуточный результат является заключительным; это испытание производится на основе специального «правила окончания». Например, для Ã правило окончания состоит в проверке, не начинается ли промежуточный результат на aa. (Если ни для какого из возникающих промежуточных результатов правило окончания не даёт сигнала остановки, то либо к каждому из возникающих промежуточных результатов применимо правило непосредственной переработки, и алгоритмический процесс продолжается неограниченно, либо же к некоторому промежуточному результату правило непосредственной переработки оказывается неприменимым, и процесс оканчивается безрезультатно.) Наконец, из заключительного промежуточного результата — также на основе специального правила — извлекается окончательный результат; для Ã это извлечение состоит в отбрасывании первых двух букв а, а для А. вычитания — в отбрасывании всего, кроме самой нижней строчки цифр. (Во многих важных случаях правило начала и правило извлечения результата задают тождественные преобразования и потому отдельно не формулируются.) Т. о., для каждого А. можно выделить 7 характеризующих его (не независимых!) параметров: 1) совокупность возможных исходных данных, 2) совокупность возможных результатов, 3) совокупность промежуточных результатов, 4) правило начала, 5) правило непосредственной переработки, 6) правило окончания, 7) правило извлечения результата.

  «Уточнения» понятия А. Возможны дальнейшие «уточнения» понятия А., приводящие, строго говоря, к известному сужению этого понятия. Каждое такое уточнение состоит в том, что для каждого из указанных 7 параметров А. точно описывается некоторый класс, в пределах которого этот параметр может меняться. Выбор этих классов и отличает одно уточнение от другого. Во многих уточнениях все классы, кроме двух — класса совокупностей промежуточных результатов и класса правил непосредственной переработки, — выбираются единичными, т. е. все параметры, кроме указанных двух, жестко фиксируются. Поскольку 7 параметров однозначно определяют некоторый А., то выбор 7 классов изменения этих параметров определяет некоторый класс А. Однако такой выбор может претендовать на название «уточнения», лишь если имеется убеждение, что для произвольного А., имеющего допускаемые данным выбором совокупности возможных исходных данных и возможных результатов, может быть указан равносильный ему А. из определённого данным выбором класса А. Это убеждение формулируется для каждого уточнения в виде основной гипотезы, которая — при современном уровне наших представлений — не может быть предметом математического доказательства.

  Первые уточнения описанного типа предложили в 1936 американский математик Э. Л. Пост и английский математик А. М. Тьюринг (см. Тьюринга машина ). Известны также уточнения, сформулированные советскими математиками А. А. Марковым (см. Нормальный алгоритм ) и А. Н. Колмогоровым (последний предложил трактовать конструктивные объекты как топологические комплексы определённого вида, что дало возможность уточнить свойство «локальности» преобразования). Для каждого из предложенных уточнений соответствующая основная гипотеза хорошо согласуется с практикой. В пользу этой гипотезы говорит и то, что, как можно доказать, все предложенные уточнения в некотором естественном смысле эквивалентны друг другу.