Большая Советская Энциклопедия (АН)

  Важнейшее свойство А. ф. выражается следующей теоремой единственности: две функции, аналитические в области D и совпадающие на каком-либо множестве, имеющем предельную точку в D, совпадают и во всей области D (тождественны). В частности, аналитическая в области функция, отличная от тождественного нуля, может иметь в области лишь изолированные нули.

  Если Е — произвольное множество (в комплексной плоскости и, в частности, на действительной прямой), то функция f (z), zÎE, называется аналитической на множестве E, если каждая точка этого множества имеет окрестность, на пересечении которой с множеством Е функция f представляется сходящимся степенным рядом; это означает в действительности, что f аналитична на некотором открытом множестве, содержащем Е (точнее, существует открытое множество, содержащее Е, и аналитическая на нём функция, f совпадающая с f на множестве E). Для открытых множеств понятие аналитичности совпадает с понятием дифференцируемости по множеству (моногенности). Однако в общем случае это не так; в частности, на действительной прямой существуют функции, не только имеющие производную, но и бесконечно дифференцируемые в каждой точке, которые не являются аналитическими ни в одной точке этой прямой. Например,

  С другой стороны, для справедливости теоремы единственности А. ф. существенно свойство связности множества E. Поэтому А. ф. рассматриваются обычно в областях, т.е. на открытых и связных множествах.

  Важную роль в изучении А. ф. играют точки, в которых нарушается свойство аналитичности — т. н. особые точки А. ф. Рассмотрим здесь изолированные особые точки (однозначных) А. ф. Пусть f — А. ф. в области вида 0 < |z - z₀| < r; в этой области f разлагается в ряд Лорана:

содержащий, вообще говоря, не только положительные, но и отрицательные степени z - z₀. Если в этом разложении члены с отрицательными степенями отсутствуют (a_n = 0 для n = -1, -2,...), то z₀ называется правильной точкой f. В правильной точке существует и конечен

полагая f(z₀) = a₀, получают функцию, аналитическую во всём круге ïz - z₀ï < r.

  Если ряд Лорана функции f содержит лишь конечное число членов с отрицательными степенями z - z₀:

  то точка z₀ называется полюсом функции f (порядка m); полюс z₀ характеризуется тем, что

  В случае, если ряд Лорана содержит бесконечное число отрицательных степеней z — z₀, то z₀ называется существенно особой точкой; в таких точках не существует ни конечного, ни бесконечного предела функции f. Если z₀ — изолированная особая точка функции f, то коэффициент a_-1 в её разложении в ряд Лорана называется вычетом функции f в точке z₀.

  Функции, представимые в виде отношения двух функций, аналитических в области D, называется мероморфными в области D. Мероморфная в области функция аналитична в этой области за исключением, быть может, конечного или счётного множества полюсов; в полюсах значения мероморфной функции считаются равными бесконечности. Если допустить такие значения, то мероморфные в области D функции могут быть определены как функции, которые в окрестности каждой точки z₀ области D представимы рядом по степеням z — z₀, содержащим конечное (зависящее от z₀) число членов с отрицательными степенями z — z₀.

  Часто аналитическими в области D называют как аналитические (голоморфные), так и мероморфные в этой области функции. В этом случае голоморфные функции называют также регулярными аналитическими или просто регулярными. Простейший класс А. ф. составляют функции, аналитические во всей плоскости; такие функции называют целыми. Целые функции представляются рядами вида

a₀ + a₁z + a₂z² + ... + a_nzⁿ +...,

сходящимися во всей комплексной плоскости. К ним относятся многочлены от z, функции

  Функции, мероморфные во всей плоскости (т. е. представимые в виде отношения целых функций), называются мероморфными функциями. Таковыми являются рациональные функции от z (отношения многочленов),

эллиптические функции и т. д.

  Для изучения А. ф. важное значение имеют связанные с ними геометрические представления. Функцию w = f(z), z(D можно рассматривать как отображение области D в плоскость переменного w. Если f есть А. ф., то образ f(D) области D также является областью (принцип сохранения области). Из условия комплексной дифференцируемости функции f в точке z₀ÎD следует, что при f’(z₀) ¹ 0 соответствующее отображение сохраняет углы в z₀, как по абсолютному значению, так и по знаку, т. е. является конформным. Т.о., существует тесная связь между аналитичностью и важным геометрическим понятием конформного отображения. Если f аналитична в D и f(z¢) ¹ f(z¢¢) при z¢ ¹ z¢¢ (такие функции называются однолистными), то f¢ (z) ¹ 0 в D и f определяет взаимно однозначное и конформное отображение области D на область G = f(D). Теорема Римана — основная теорема теории конформных отображений — утверждает, что в любой односвязной области, граница которой содержит более одной точки, существуют однолистные А. ф., конформно отображающие эту область на круг или полуплоскость.