Большая Советская Энциклопедия (БЕ)

  Происхождение термина «Б. у. э.» легче всего проследить на следующем примере. Рассмотрим в евклидовой плоскости a ее параллельные прямые а и а' (рис ., 1) и прямую b , пересекающую их соответственно в точках М и М'. Будем поворачивать прямую b вокруг точки М' в направлении, указанном на рис. стрелкой, до совпадения с прямой а'. Очевидно, по мере приближения прямой b к a' точка М пересечения прямых a и b будет удаляться в бесконечность. Этот процесс достаточно отчетливо поясняет часто употребляемое выражение: «параллельные прямые пересекаются в бесконечно удалённой точке».

  Указанные наглядные соображения лежат в основе интерпретации двумерной проективной геометрии на евклидовой плоскости a. Для этой цели плоскость a пополняется бесконечно удалёнными точками и одной бесконечно удалённой прямой следующим образом. Уславливаются рассматривать параллельные прямые как пересекающиеся в бесконечно удалённой точке. Тогда прямая а', параллельная прямой а (рис ., 2), пересекается с ней в некоторой точке, но только эта точка не является обыкновенной, а представляет собой новый объект — бесконечно удалённую точку прямой а. Уславливаются, что все прямые, параллельные прямой а, имеют одну общую бесконечно удалённую точку А, а бесконечно удалённые точки непараллельных прямых считаются различными. Т. о., евклидова плоскость пополняется бесконечным числом бесконечно удалённых точек. Совокупность всех этих бесконечно удалённых точек плоскости се называют бесконечно удалённой прямой.

  Плоскость a, пополненная т. о. бесконечно удалёнными точками и бесконечно удалённой прямой, представляет собой т. н. проективную плоскость . Её свойства отличаются от свойств евклидовой плоскости (например, на проективной плоскости пересекаются любые две прямые).

  Евклидову плоскость можно пополнять Б. у. э. и др. способами. Так, при изображении комплексных чисел на евклидовой плоскости, последняя пополняется одной бесконечно удалённой точкой, которая отвечает одному бесконечно большому комплексному числу.

  Лит.: Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961.

  Э. Г. Позняк.

Бесконечно удалённые элементы.

Бесконечное произведение

Бесконе'чное произведе'ние, произведение бесконечного числа сомножителей u ₁ , u ₂ ,..., u _n ,..., т. е. выражение вида

  Б. п., в котором сомножителями являются числа, иногда называемые бесконечным числовым произведением. Б. п. не всегда может быть приписано числовое значение. Если существует отличный от нуля предел последовательности частичных произведений

  pn = u ₁ u ₂ ... u _n

при n ® ¥, то Б. п. называется сходящимся, a lim pn = р — его значением, и пишут:

 

Исторически Б. п. впервые встретились в связи с задачей о вычислении числа p. Так, французский математик Ф. Виет (16 в.) получил формулу:

 

  а английский математик Дж. Валлис (17 в.) — формулу:

  Особое значение Б. п. приобрели после работ Л. Эйлера , применившего Б. п. для изображения функций. Примером может служить разложение синуса:

Разложения функций в Б. п. аналогичны разложениям многочленов на линейные множители; они замечательны тем, что выявляют все значения независимого переменного, при которых функция обращается в нуль.

  Для сходимости Б. п. необходимо и достаточно, чтобы u_n ¹ 0 для всех номеров n, чтобы u _N > 0, начиная с некоторого номера N, и чтобы сходился ряд

Т. о., исследование сходимости Б. п. эквивалентно исследованию сходимости этого ряда.

  Лит.: Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2, М.— Л., 1966; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, М., 1965.

Бесконечность в математике

Бесконе'чность в математике. «Математическое бесконечное заимствовано из действительности, хотя и бессознательным образом, и поэтому оно может быть объяснено только из действительности, а не из самого себя, не из математической абстракции» (Энгельс Ф., Анти-Дюринг, 1966, с. 396). Материальная основа математического бесконечного может быть понята только при условии, что оно рассматривается в диалектическом единстве с конечным. Каждая математическая теория связана обязательным для неё требованием внутренней формальной непротиворечивости. Поэтому возникает вопрос о том, как соединить это требование с существенно противоречивым характером действительности: Б. «Уничтожение этого противоречия было бы концом бесконечности» (там же, с. 47). Ответ на этот вопрос заключается в следующем. Когда в теории пределов рассматриваются бесконечные пределы lim a_n = ¥, или в теории множеств — бесконечные мощности, то это не приводит к внутренним формальным противоречиям в указанных теориях лишь потому, что эти различные специальные виды математических Б. являются лишь крайне упрощёнными, схематизированными образами различных сторон Б. действительного мира.

  Задачи настоящей статьи ограничиваются указанием на различные подходы к Б. в математике, освещаемые подробнее в других статьях.