Большая Советская Энциклопедия (ЧЕ)

  В частности, Т₀ = 1; T ₁ = х ; T₂ = 2x ² ¾1; T₃ = 4x ³ ¾ 3x ; T₄ = 8x⁴ ¾ 8x ² + 1. Ч. м. T_n (x ) ортогональны (см. Ортогональные многочлены ) на отрезке [—1; + 1] относительно веса (1 — x ² )^¾1/2 . Дифференциальное уравнение:

(1 — x ² ) у" — ху + n ² у = 0.

  Рекуррентная формула: T_{n+ 1} (x ) = 2xTn (х ) - T_{n ¾1} (x ).

  Ч. м. 1-го рода являются частным случаем Якоби многочленов P_n ^{( ab)} (x ):

.

  2) Ч. м. 2-го рода U_n (x ) — ортогональная на отрезке [—1; + 1] относительно веса (1 —x ² )^1/2 система многочленов, связанная с Ч. м. 1-го рода, например рекуррентным соотношением:

(1 — x ² ) U_{n ¾1} (х ) = xTn (х ) ¾ T_{n+ 1} (х ).

  Лит.: Чебышев П. Л., Полн. собр. соч., т. 2—3, М.—Л., 1947—48; Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962.

Чебышева неравенство

Чебыше'ва нера'венство,

   1) одно из основных неравенств для монотонных последовательностей или функций. В случае конечных последовательностей

и

  оно имеет вид:

  а в интегральной форме ¾ вид:

,

  где f (x ) ³ 0, g (x ) ³ 0 и обе функции либо убывают, либо возрастают. Ч. н. установлено П. Л. Чебышевым (1882).

  2) Неравенство, дающее оценку вероятности того, что отклонение случайной величины от её математического ожидания превзойдёт некоторую заданную границу. Пусть x — какая-либо случайная величина, Ex = a — её математическое ожидание, а Dx = s² ¾ её дисперсия. Тогда Ч. н. утверждает, что вероятность неравенства | x ¾ a |³ k s не превосходит величины 1/k ² . Если x — сумма независимых случайных величин, то при некоторых дополнительных ограничениях оценка 1/k ² может быть заменена оценкой

убывающей с ростом k значительно быстрее.

  Своё название Ч. н. получило по имени П. Л. Чебышева, который с его помощью установил (1867) весьма широкие условия приложимости закона больших чисел к суммам независимых случайных величин. См. Больших чисел закон , Предельные теоремы теории вероятностей.

Чебышева параллелограмм

Чебыше'ва параллелогра'мм, шарнирный механизм , предложенный П. Л. Чебышевым в 1868 для воспроизведения движения некоторой точки механизма по прямой линии. Ч. п. представляет собой плоский шарнирный четырёхзвенник ABCD (рис. ), называемый также прямолинейно-направляющим механизмом , в котором длины звеньев удовлетворяют соотношению 3d — a = 2b. Длина приближённо-прямолинейного участка траектории точки М становится больше с увеличением AB , но одновременно возрастает и отклонение от прямолинейности. Ч. п., показанный на рис. сплошными линиями, в среднем положении напоминает греческую букву l и называется поэтому l-образным. Чебышев указал также другую модификацию этого механизма AB ₁ C ₁ D ₁ , показанную штриховой линией. В этой модификации, называется перекрёстной, траектория точки М совпадает с траекторией той же точки в l-образном механизме, а длины звеньев связаны соотношениями: AB ₁ = C ₁ D ₁ = 2b , B ₁ C ₁ = 2a , B ₁ M = a , AD ₁ = 2d. Известен также Ч. п., в котором угол между линиями СВ и СМ отличается от 180°. Ч. п. применяется в приборах для получения прямолинейного движения точки без направляющих.

  Лит.: Чебышев П. Л., Об одном механизме, Полн. собр. соч., т. 4, М,—Л., 1948.

  Н. И. Левитский.

Чебышева параллелограмм.

Чебышева формула

Чебыше'ва фо'рмула, формула для приближённого вычисления определённого интеграла:

  точная для многочленов степени не выше n — 1, где n — число узлов интерполяции. Значения x_i в Ч. ф. для некоторых n вычислены. Например, для n = 9: x₁ = —x₉ = 0,911589; x₂ = —х₈ = 0,601019; x₃ = — x₇ = 0,528762; x₄ = —x₆ = 0,167906; x₅ = 0. При n = 8 и n > 9 абсциссы x_i имеют комплексные значения, поэтому Ч. ф. применима только для n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Ч. ф. установлена П. Л. Чебышевым (1873).

Чева Джованни

Че'ва (Ceva) Джованни (1648 — 1734), итальянский математик. Основной заслугой Ч. является построение учения о секущих, которое положило начало новой — синтетической геометрии; оно изложено в сочинении «О взаимнопересекающихся прямых» (De lineis rectis se inuicem secantibus statica constructio, Mediolani, 1678).

Чевакинский Савва Иванович