Большая Советская Энциклопедия (ЧИ)

  где a ₁ ,..., a_n — натуральные числа, в целых неотрицательных числах X ₁ ,... , Xn , Л. Эйлер построил производящую функцию Ф (z ) от переменной z , коэффициенты которой при разложении по степеням z равняются числу решений указанного уравнения. Функция Ф (z ) определяется как формальное произведение рядов

, …,

  т. е. Ф (z ) = Ф ₁ (z )^. ... ^. Ф_к (z ), каждый из которых сходится при ½z ½ < 1 и имеет достаточно простой вид, являясь суммой членов бесконечной геометрической прогрессии:

, …,

  Следовательно,

  причём I (N ) — число решений изучаемого уравнения. Метод производящих функций Эйлера послужил истоком кругового метода Харди—Литлвуда, далеко идущим развитием которого, в свою очередь, явился метод тригонометрических сумм И. М. Виноградова .

  Другой проблемой Ч. т., стимулировавшей создание мощного метода, была проблема простых чисел. Л. Эйлер, доказывая теорему Евклида о бесконечности числа простых чисел, рассмотрел произведение по всем простым числам р :

  при s > 1. Это произведение сходится, и если его раскрыть, то в силу однозначности разложения натуральных чисел на простые сомножители получается, что оно равняется сумме ряда

откуда следует тождество Эйлера:

, s > 1.

  Так как при s = 1 ряд справа расходится (гармонический ряд), то из тождества Эйлера следует теорема Евклида. Эта идея Л. Эйлера легла в основу позднейших теорий дзета-функции . Л. Эйлеру и Х. Гольдбаху принадлежат первые постановки аддитивных (т. е. связанных со сложением) задач с простыми числами.

  К середине 19 в. в основном было построено здание Ч. т., что связано с именами К. Гаусса , Ж. Лагранжа , А. Лежандра , П. Дирихле , П. Л. Чебышева , Ж. Лиувилля , Э. Куммера .

  К. Гаусс создаёт теорию сравнений, называемую иначе арифметикой остаточных классов, с помощью которой были доказаны теорема о том, что простое число является суммой двух квадратов тогда и только тогда, когда оно имеет вид 4n + 1, и теорема о представимости каждого натурального числа суммой четырёх квадратов целых чисел. Кроме того, теория сравнений привела к важным понятиям теоретико-числового характера и тригонометрической суммы. Простейшим характером является Лежандра символ .

  К. Гаусс изучил свойства квадратичных вычетов и невычетов. Основной теоремой в этом круге вопросов является т. н. квадратичный закон взаимности, при доказательстве которого К. Гаусс рассмотрел конечные суммы вида

0 < a , р — 1, а — целое.

  Суммы такого вида и их обобщения стали называть тригонометрическими, т.к. в силу формулы Эйлера e^{i j} = cosj ± i sinj они могут быть представлены в виде суммы синусов и косинусов.

  К. Гаусс, а затем П. Дирихле, продолжая исследования Л. Эйлера, создали теорию квадратичных форм, другими словами, — теорию о представлении натуральных чисел формами вида ax ² + 2bxy + су ² , где а , b , с — целые числа.

  К. Гаусс и П. Дирихле первыми стали рассматривать проблему о количестве целых точек в областях на плоскости. К. Гаусс доказал, что число целых точек в круге X ² +Y ² £ R ² равно pR ² + O (R ), а П. Дирихле, в свою очередь, доказал, что число целых точек с положительными координатами под гиперболой xy = N равно

где С — Эйлера постоянная . Обобщения этих двух предложений, а также нахождение наилучших возможных остатков в написанных формулах (проблема целых точек в круге Гаусса и проблема делителей Дирихле) послужили источником большой главы Ч. т.

  Теоремы о бесконечности числа простых чисел в арифметич. прогрессиях частного вида, таких, как 4k ± 1, 6k ± 1, были известны давно, однако только П. Дирихле удалось доказать общую теорему о бесконечности числа простых чисел в прогрессиях вида

nk + l , n = 0, 1, 2,...,

  где k (разность прогрессии) и l (первый её член) взаимно просты. Он рассмотрел аналог эйлерова произведения по всем простым числам вида

  где c(p ) удовлетворяет условиям: не равна тождественно нулю, периодическая x (n + k ) = c(n ) с периодом k , вполне мультипликативная, т. е. c(nm ) = c(n )c(m ) при любых целых n и m. Эту функцию назвали характером Дирихле. С помощью характеров Дирихле можно «вырезать» арифметические прогрессии. Для каждого натурального k существует j(k ) характеров Дирихле (j(k ) — Эйлера функция ), причём если рассмотреть сумму чисел c(n ) по всем возможным характерам, отвечающим k , то она будет равна j(k ), если п при делении на k даёт остаток 1, в противном случае — равна 0. При s > 1 получается аналог тождества Эйлера:

.

  Ряд справа в этом равенстве называется рядом Дирихле. Изучая поведение таких рядов при s ® 1 + 0, Дирихле доказал свою теорему о бесконечности числа простых чисел в арифметической прогрессии.

  Характеры Дирихле играют важную роль как в самой Ч. т., так и в других разделах математики (алгебре, топологии и др.), а ряды Дирихле составляют большую главу в современной теории функций.