Большая Советская Энциклопедия (ДЕ)

  В зависимости от свойств механической системы и применяемого метода изучения её движения рассматривают разные выражения для величины Д. Если какой-нибудь промежуток времени t — t разбить на очень малые интервалы Dt и для каждого интервала вычислить так называемую функцию Лагранжа L_i= T_i — П_i, где T_i и П_i — средние значения кинетической и потенциальной энергии системы за время Dt_i, то величина S, равная сумме произведений L_i· Dt_i, т. е.

 

называется действием по Гамильтону за промежуток времени t — t. Эта величина входит в выражение принципа наименьшего действия в форме Гамильтона — Остроградского.

  Вычисленная аналогичным образом величина

 

называется действием по Лагранжу за промежуток времени t — t и входит в выражение принципа наименьшего действия в форме Мопертюи — Лагранжа.

  Для системы, в которой выполняется закон сохранения механической энергии, величины S и W связаны соотношением S =W — h (t — t), где h = Т + П — полная механическая энергия системы.

  Равенства (1) и (2) определяют значения S и W тем точнее, чем меньше интервалы времени Dt_i. Точные значения этих величин получаются при переходе к пределу и даются интегралами

 

Помимо классической механики, понятием о Д. пользуются в теории упругости, электродинамике, термодинамике обратимых процессов, квантовой механике. В квантовой механике физические величины размерности Д. могут принимать лишь дискретные значения, кратные кванту действия, или Планка постоянной.

  С. М. Тарг.

Действительное изображение

Действи'тельное изображе'ние, см. Изображение оптическое.

Действительное число

Действи'тельное число', вещественное число, любое положительное число, отрицательное число или нуль. Д. ч. разделяются на рациональные и иррациональные. Первые представимы как в виде рациональной дроби, т. е. дроби p/q, где р и q — целые, q ¹ 0, так и в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, а вторые — только в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

  Строгая теория Д. ч., которая позволяет определять иррациональные числа, исходя из рациональных, была развита лишь во 2-й половине 19 в. трудами К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда и Г. Кантора. Множество всех Д. ч. называется числовой прямой и обозначается R. Это множество линейно упорядочено и образует поле по отношению к основным арифметическим операциям (сложение и умножение). Множество рациональных чисел всюду плотно в R, и R есть его пополнение. Числовая прямая R подобна геометрической прямой, т. е. между числами из R и точками на прямой можно установить взаимно однозначное соответствие с сохранением упорядоченности. Важнейшее свойство числовой прямой состоит в её непрерывности. Принцип непрерывности числовой прямой имеет несколько различных формулировок. Принцип Вейерштрасса: всякое непустое ограниченное сверху числовое множество имеет (единственную) верхнюю грань. Принцип Дедекинда: всякое сечение в области Д. ч. имеет рубеж. Принцип Кантора (принцип стягивающихся отрезков): всякая стягивающаяся система отрезков {[a_n, b_n]} числовой прямой имеет единственное число, принадлежащее всем отрезкам.

  Теория Д. ч. является одним из важнейших узловых вопросов математики. Свойства числовой прямой являются тем фундаментом, на котором строится теория пределов, а вместе с ней — всё здание современного математического анализа. Подробнее см. Число.

  С. Б. Стечкин.

Действительность