Большая Советская Энциклопедия (ДИ)

или как скорость изменения (вращения) касательной к L (рис. 2):

 

где a — угол между касательными в точках М и N, а Ds — длина дуги MN.

  Мерой отклонения кривой от соприкасающейся плоскости p в точке М служит так называемое кручение s, которое определяется как предел отношения угла b между соприкасающимися плоскостями в точках М и N к длине Ds дуги MN при Ds ® 0:

 

При этом угол b берётся со знаком +, если для наблюдателя в М вращение соприкасающейся плоскости в N при приближении N к М происходит против часовой стрелки, и со знаком — в противном случае. Кручение кривой можно рассматривать как скорость изменения (вращения) соприкасающейся плоскости. В частности, для плоской кривой соприкасающаяся плоскость во всех точках совпадает с плоскостью кривой и поэтому кручение такой кривой во всех точках равно нулю. Кривизна k и кручение s достаточно гладкой кривой L определены в каждой её точке и представляют собой функции параметра, определяющего точки этой кривой. Для вычисления k и s используется какой-либо способ задания кривой. Чаще всего кривая L задаётся параметрическими уравнениями в прямоугольных координатах:

x = j(t), y = y(t), z = c(t).         (1)

При изменении параметра t точка М с координатами (x, у, z) описывает кривую L. Иными словами, параметрические уравнения кривой связаны с представлением о кривой как траектории движущейся точки. Правые части (1) могут рассматриваться и как проекции на оси координат радиуса-вектора r переменной точки М кривой L. Вектор r' с координатами {jc(t), yc(t), cc(t)} называется производной вектор-функции r (t) и направлен по касательной к L в точке М.

  Кривизна и кручение вычисляются по формулам

 

  s = r'r"r"'/[r', r"]²,

в которых [r', r"] — векторное, a r'r''r"' — смешанное произведение (см. Векторное исчисление).

  С каждой точкой М кривой L связаны три единичных вектора: касательной (t), главной нормали (n) и бинормали (b) (рис. 1). При этом вектор (n) расположен в соприкасающейся плоскости и направлен от точки М к центру кривизны L в М, а вектор b ортогонален t и n и направлен так, что векторы t, n и b образуют правую тройку. Указанная тройка векторов образует так называемый основной, или сопровождающий, триедр кривой L. Плоскости векторов (n, b) и (t, b) называются соответственно нормальной и спрямляющей плоскостями L в М.

  Формулы для производных векторов t, n, b по длине s дуги L называются формулами Френе. Они играют фундаментальную роль как в теории кривых, так и в приложениях этой теории (в механике, теоретической физике и т.д.). Эти формулы имеют вид

 

Если кривизна и кручение не равны нулю в точке М, то можно сделать определённые заключения о форме L вблизи М: проекции L на соприкасающуюся и нормальную плоскости в М имеют вид, изображённый соответственно на рис. 3 и 4. Форма проекции на спрямляющую плоскость зависит от знака кручения. На рис. 5 и 6 изображены проекции L на спрямляющую плоскость для s > 0 и s < 0. Кривизна и кручение вполне определяют кривую. Именно, если между точками двух кривых установлено соответствие так, что соответствующие дуги этих кривых имеют одинаковую длину и в соответствующих точках кривые имеют равные кривизны и равные кручения, то эти кривые могут быть совмещены посредством движения.

  По аналогии с кривыми исследуется локальное строение формы поверхностей. В каждой точке М достаточно гладкой поверхности S можно построить касательную плоскость g и однозначно определённый соприкасающийся параболоид p (рис. 7), который может выродиться в параболический цилиндр или плоскость. При этом касательную плоскость можно рассматривать как плоскость, наиболее тесно прилегающую к S вблизи М. Соприкасающийся же параболоид характеризуется тем, что в окрестности точки М он совпадает с S с точностью до величин третьего порядка малости по сравнению с размерами этой окрестности. С помощью соприкасающихся параболоидов точки М поверхностей классифицируются следующим образом: эллиптическая (рис. 8) (соприкасающийся параболоид — эллиптический), гиперболическая (рис. 9) (соприкасающийся параболоид — гиперболический), параболическая (рис. 10) (соприкасающийся параболоид — параболический цилиндр), точка уплощения (рис. 11) (соприкасающийся параболоид — плоскость).

  Обычно для исследования строения поверхности используются так называемая первая и вторая основные квадратичные формы поверхности.

  Пусть поверхность S определена параметрическими уравнениями:

x = j (u, v), y = y (u, v), z = c (u, v).          (2)

При фиксированном значении v уравнения (2) определяют на S линию, называемую координатной линией u. Аналогично определяется линия v. Координатные линии u и v образуют на S параметрическую сеть (если, например, сферу радиуса 1 задать параметрическими уравнениями

х = cos u cos v, у = cos u sin v, z = sin u,