Большая Советская Энциклопедия (ДИ)

  Если условия единственности выполнены, то решение y (x), удовлетворяющее условию у (x) = у, можно записать в виде:

  y (x) = j(x; х, у),          (5)

где x и у входят как параметры, функция же j (х; x, y) трёх переменных х, x и y однозначно определяется самим уравнением (Б). Важно отметить, что при достаточно малом изменении поля (правой части Д. у.) функция j(х; x, у) меняется сколь угодно мало на конечном промежутке изменения переменного х — имеется непрерывная зависимость решения от правой части Д. у. Если правая часть f (x, у) Д. у. непрерывна и её производная по у ограничена (или удовлетворяет условию Липшица), то имеет место также непрерывность j(х; х, у) по x и y.

  Если в окрестности точки (х, у) для уравнения (Б) выполнены условия единственности, то все интегральные кривые, проходящие через достаточно малую окрестность точки (x, у), пересекают вертикальную прямую х = х и определяются ординатой у = С своей точки пересечения с этой прямой (см. рис. 6). Т. о., все эти решения содержатся в семействе с одним параметром С:

  y (x) = F (x, C),

которое является общим решением Д. у. (Б).

  В окрестности точек, в которых нарушаются условия единственности, картина может быть сложнее. Весьма сложен и вопрос о поведении интегральных кривых «в целом», а не в окрестности точки (x, у).

  Общий интеграл. Особые решения. Естественно поставить обратную задачу: задано семейство кривых, зависящих от параметра С, требуется найти Д. у., для которого кривые заданного семейства служили бы интегральными кривыми. Общий метод для решения этой задачи заключается в следующем: считая семейство кривых на плоскости хОу заданным при помощи соотношения

  F (x, y, C) = 0,          (6)

дифференцируют (6) при постоянном С и получают

 

или в симметричной записи

  

и из двух уравнений (6) и (7) или (6) и (8) исключают параметр С. Если данное Д. у. получается таким образом из соотношения (6), то это соотношение называется общим интегралом заданного Д. у. Одно и то же Д. у. может иметь много различных общих интегралов. После нахождения для заданного Д. у. общего интеграла оказывается необходимым, вообще говоря, ещё исследовать, не имеет ли Д. у. дополнительных решений, не содержащихся в семействе интегральных кривых (6).

  Пусть, например, задано семейство кривых

  (х -С)³ - у = 0.          (9)

Дифференцируя (9) при постоянном С получают

  3(х - С)² - у' = 0,

после же исключения С приходят к Д. у.

  27y² - (y ')³ = 0,          (10)

равносильному уравнению (4). Легко видеть, что кроме решений (9), уравнение (10) имеет решение

  y o 0.          (11)

  Решение уравнения (10) самого общего вида таково:

 

где -yen lb C₁ lb C₂ lb +yen (рис. 7). Оно зависит от двух параметров C₁ и C₂, но составляется из кусков кривых однопараметрического семейства (9) и куска особого решения (11).

  Решение (11) уравнения (10) может служить примером особого решения Д. у. В качестве другого примера можно рассмотреть семейство прямых

  4(у - Cx) + C²= 0.          (12)

Эти прямые являются интегральными кривыми Д. у.

  4(у - ху') + (у')² = 0.

Особой же интегральной кривой этого Д. у. служит парабола

  х² - у = 0,

огибающая прямые (12) (рис. 8). Картина, наблюдавшаяся в рассмотренном примере, типична; особые интегральные кривые обычно являются огибающими семейства интегральных кривых, получаемых из общего решения.

  Дифференциальные уравнения высших порядков и системы дифференциальных уравнений. Д. у. n-го порядка с одной неизвестной функцией у (х) независимого переменного х записывают так:

  F (х, у, y', у", ..., y^(n-1), y⁽ⁿ⁾) = 0.          (13)

Если ввести дополнительные неизвестные функции

  y₁ = y', y₂ = y", ..., y_n-1 = y ^(n-1),          (14)

то уравнение (13) можно заменить системой из n уравнений с n неизвестными функциями, но зато 1-го порядка. Для этого достаточно к n - 1 уравнениям (14) присоединить уравнение

  F (x, у, y₁, у₂, ..., y_n-1, y'_n-1) = 0.

  Аналогичным образом сводятся к системам уравнений 1-го порядка и системы уравнений высших порядков. В механике сведение систем уравнений 2-го порядка к системе из удвоенного числа уравнений 1-го порядка имеет простой механический смысл. Например, система трёх уравнений движения материальной точки

  mx" = p (x, y, z), my" = Q (x, у, z),

  mz" = R (x, у, z),

где х, у, z — координаты точки, зависящие от времени t, сводится к системе шести уравнений:

  mu' = р (х, у, z), mv' = Q (x, у, z),

  nw' = R (x, у, z), u = х', v = y', w = z'

при помощи введения в качестве новых переменных составляющих u, v, w скорости.

  Наибольшее значение имеют системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных функций. Система из n уравнений 1-го порядка с n неизвестными функциями, разрешённая относительно производных, имеет вид: