Большая Советская Энциклопедия (ФУ)

Фурье' ме'тод, метод решения задач математической физики, основанный на разделении переменных. Предложен для решения задач теории теплопроводности Ж. Фурье и в полной общности сформулирован М. В. Остроградским в 1828. Решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным однородным и краевым условиям, ищется по Ф. м. как суперпозиция решений, удовлетворяющих краевым условиям и представимых в виде произведения функции от пространственных переменных на функцию от времени. Нахождение таких решений связано с разысканием собственных функций и собственных значений некоторых дифференциальных операторов и последующим разложением функций начальных условий по найденным собственным функциям. В частности, разложение функций в ряды и интегралы Фурье (см. Фурье ряд , Фурье интеграл ) связано с применением Ф. м. для изучения задач о колебании струны и о теплопроводности стержня. Например, изучение малых колебаний струны длины l , имеющей закрепленные концы, сводиться к решению уравнения  при краевых условиях u (0, t ) = u (l , t ) = 0 и начальных условиях u (x ,0) = f (x ); u'_t (x , 0) = F (x ); 0 £ x £ l . Решения этого уравнения, имеющие вид X (x ) T (t ) и удовлетворяющие краевым условиям, выражаются формулой:

.

  Выбирая соответствующим образом коэффициенты A_n и B_n , можно добиться того, что функция

будет решением поставленной задачи.

  Ряд важных проблем, связанных с применением Ф. м., был решен В. А. Стекловым .

Фурье преобразование

Фурье' преобразова'ние (данной функции), функция, выражающаяся через данную функцию f (x ) формулой:

,     (1)

  Если функция f (x ) чётная, то её ф. п. равно

     (2)

(косинус-преобразование), а если f (x ) — нечётная функция, то

     (3)

(синус-преобразование). Формулы (1), (2) и (3) обратимы, т. е. для чётных функций

,     (4)

а для нечётных функций

.     (5)

  В общем случае имеет место формула

.     (6)

  Каждой операции над функциями соответствует операция над их Ф. п., которая во многих случаях проще соответствующей операции над f (x ). Например, Ф. п. f '(x ) является iug (u ). Если

,     (7)

то g (u ) = g₁ (u ) g₂ (u ). Для f (x + а ) Ф. п. является e^iua g (u ), а для c₁ f₁ (x ) + c₂ f₂ (x ) — функция c₁ g₁ (u ) + c₂ g₂ (u ).

  Если существует , то интегралы в формулах (1) и (6) сходятся в среднем (см. Сходимость ), причём

     (8)

(теорема Планшереля). Формула (8) является обобщением на Ф. п. формулы Парсеваля (см. Парсеваля равенство ) для рядов Фурье (см. Фурье ряд ). Физический смысл формулы (8) заключается в равенстве энергии некоторого колебания сумме энергий его гармонических компонент. Отображение F : f (x ) ® g (u ) является унитарным оператором в гильбертовом пространстве функций f (x ), — ¥ < x < ¥, с интегрируемым квадратом. Этот оператор может быть представлен также в виде

.     (9)

  При некоторых условиях на f (x ) справедлива формула Пуассона

,

находящая применение в теории тэта-функций .

  Если функция f (x ) достаточно быстро убывает, то её Ф. п. можно определить и при некоторых комплексных значениях u  = v + iw . Например, если существует , а > 0, то Ф. п. определено при |w | < а. Ф. п. при комплексных значениях тесно связано с двусторонним преобразованием Лапласа (см. Лапласа преобразование )

 .

  Оператор Ф. п. может быть расширен на более обширные классы функций, нежели совокупность суммируемых функций [например, для функций f (x ) таких, что (1 + |x |)^–1 f (x ) суммируема, Ф. п. определяется формулой (9)], и даже на некоторые классы обобщённых функций (т. н. медленного роста).

  Имеются обобщения Ф. п. Одно из них использует различного рода специальные функции, например Бесселя функции , это направление получает завершение в теории представлений непрерывных групп . Другим является т. н. преобразование Фурье — Стилтьеса, широко применяемое, например, в теории вероятностей; оно определяется для произвольной ограниченной неубывающей функции j(x ) Стилтьеса интегралом

     (10)

и называется характеристической функцией распределения j. Для представимости функции g (u ) в виде (10) необходимо и достаточно, чтобы при любых u ₁ ,..., u_n , x₁ ,...,x_n было

(теорема Бохнера — Хинчина).

  Ф. п., первоначально возникшее в теории теплопроводности, имеет многочисленные применения как в самой математике (например, при решении дифференциальных, разностных и интегральных уравнений, в теории специальных функций и т.д.), так и в различных разделах теоретической физики. Например, Ф. п. стало стандартным аппаратом квантовой теории поля , широко используется в методе функций Грина для неравновесных задач квантовой механики и термодинамики, в теории рассеяния и т.д.

  Лит.: Снеддон И., Преобразование Фурье, пер. с англ., М., 1955; Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, М., 1976.

Фурье ряд