Большая Советская энциклопедия (ГА)

В течение трёх последующих столетий математики пытались найти аналогичные формулы для уравнений 5-й и высших степеней. Наиболее упорно над этим работали Э. Безу и Ж. Лагранж . Последний рассматривал особые линейные комбинации корней (т. н резольвенты Лагранжа), а также изучал вопрос о том, каким уравнениям удовлетворяют рациональные функции от корней уравнения (*). В 1801 К. Гаусс создал полную теорию решения в радикалах двучленного уравнения вида xⁿ = 1, в которой свёл решение такого уравнения к решению цепи двучленных же уравнений низших степеней и дал условия, необходимые и достаточные для того, чтобы уравнение xⁿ = 1 решалось в квадратных радикалах. С точки зрения геометрии, последняя задача заключалась в отыскании правильных n-угольников, которые можно построить при помощи циркуля и линейки; поэтому уравнение xⁿ = 1 и называется уравнением деления круга. Наконец, в 1824 Н. Абель показал, что общее уравнение 5-й степени (и тем более общие уравнения высших степеней) не решается в радикалах. С другой стороны, Абель дал решение в радикалах одного общего класса уравнений, содержащего уравнения произвольно высоких степеней, т. н. абелевых уравнений.

  Т. о., когда Галуа начал свои исследования, в теории алгебраических уравнений было сделано уже много, но общей теории, охватывающей все возможные уравнения вида (*), ещё не было создано. Например, оставалось: 1) установить необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять уравнение (*) для того, чтобы оно решалось в радикалах; 2) узнать вообще, к цепи каких более простых уравнений, хотя бы и не двучленных, может быть сведено решение заданного уравнения (*) и, в частности, 3) выяснить, каковы необходимые и достаточные условия для того, чтобы уравнение (*) сводилось к цепи квадратных уравнений (т. е. чтобы корни уравнения можно было построить геометрически с помощью циркуля и линейки). Все эти вопросы Галуа решил в своём «Мемуаре об условиях разрешимости уравнений в радикалах», найденном в его бумагах после смерти и впервые опубликованном Ж. Лиувиллем в 1846. Для решения этих вопросов Галуа исследовал глубокие связи между свойствами уравнений и групп подстановок, введя ряд фундаментальных понятий теории групп. Своё условие разрешимости уравнения (*) в радикалах Галуа формулировал в терминах теории групп. Г. т. после Галуа развивалась и обобщалась во многих направлениях. В современном понимании Г. т. — теория, изучающая те или иные математические объекты на основе их групп автоморфизмов (так, например, возможны Г. т. полей, Г. т. колец, Г. т. топологических пространств и т. п.).

  Лит.: Галуа Э., Сочинения, пер. с франц., М. — Л., 1936; Чеботарев Н. Г., Основы теории Галуа, т. 1—2, М. — Л.,1934—37: Постников М. М., Теория Галуа, М., 1963.

Галуа Эварист

Галуа' (Galois) Эварист (26.10.1811, Бур-ла-Рен, близ Парижа, — 30.5.1832, Париж), французский математик, исследования которого оказали исключительно сильное влияние на развитие алгебры. Учился в лицее Луи-ле-Гран, к моменту окончания которого уже вёл творческую работу по математике. В 1830 поступил в Высшую нормальную школу. Был исключен (1831) из неё по политическим мотивам. К этому времени относится начало активной политической деятельности Г.: он входил в тайное республиканское общество «Друзья народа». За публичное выступление против королевского режима дважды подвергался тюремному заключению. Почти сразу после освобождения, в возрасте 21 г., был убит на дуэли, по всей видимости, спровоцированной его политическими противниками.

  Математическое наследие Г. составляет небольшое число очень сжато написанных работ, не понятых современниками. Г., по существу, построил всю теорию конечных полей (называемых ныне полями Г.). В письме к другу, написанном накануне дуэли, Г. формулирует основные теоремы об интегралах от алгебраических функций, вновь открытые значительно позже в работах Б. Римана . Основной заслугой Г. является формулировка комплекса идей, к которым он пришёл в связи с продолжением исследований о разрешимости в радикалах алгебраических уравнений, начатых Ж. Лагранжем , Н. Абелем и др. Построенная в результате этого Галуа теория , устанавливая описание расширений полей в терминах групп , напоминающее описание симметрии многогранника, сводит вопросы, касающиеся полей, к вопросам теории групп (возникшей именно отсюда).

  Соч.: Сочинения, пер. с франц., М — Л., 1936.

  Лит.: Инфельд Л., Эварист Галуа. Избранник богов, пер. с англ., lm.], 1958; Дальма А., Эварист Галуа, революционер и математик, пер. с франц., М., 1960.

  Л. И. Скопин.

Э. Галуа.

Галун

Галу'н (от франц. galon), плотная лента или тесьма разных цветов, вырабатываемая из хлопчато-бумажной пряжи, шёлка, часто с золотой, серебряной нитью или мишурой. Используется для изготовления знаков различия на форменную одежду.

Галуппи Бальдассаре