Большая Советская Энциклопедия (КВ)

Квадрати'чная оши'бка, понятие теории вероятностей и математической статистики. См. Квадратичное отклонение.

Квадратичная форма

Квадрати'чная фо'рма, форма 2-й степени от n переменных x₁, x₂,..., x_n, т. е. многочлен от этих переменных, каждый член которого содержит либо квадрат одного из переменных, либо произведение двух различных переменных. Общий вид К. ф. при n = 2:

,

при n = 3:

,

где a, b,..., f — какие-либо числа. Произвольная К. ф. записывается так:

;

причём считают, что a_ij = a_ji. К. ф. от 2, 3 и 4 переменных непосредственно связаны с теорией линий (на плоскости) и поверхностей (в пространстве) 2-го порядка: в декартовых координатах уравнение линии и поверхности 2-го порядка, отнесённых к центру, имеет вид А (х) = 1, т. е. его левая часть является К. ф.; в однородных координатах левая часть любого уравнения линии и поверхности 2-го порядка является К. ф. При замене переменных x₁, x₂,..., x_n др. переменными y₁, y₂,..., y_n, являющимися линейными комбинациями старых переменных, К. ф. переходит в другую К. ф. Путём соответствующего выбора новых переменных (невырожденного линейного преобразования) можно привести К. ф. к виду суммы квадратов переменных, умноженных на некоторые числа. При этом ни число квадратов (ранг К. ф.), ни разность между числом положительных и числом отрицательных коэффициентов при квадратах (сигнатура К. ф.) не зависят от способа приведения К. ф. к сумме квадратов (закон инерции). Указанное приведение можно осуществить даже специальными (т. н. ортогональными) преобразованиями. Геометрически в этом случае такое преобразование соответствует приведению линии или поверхности 2-го порядка к главным осям.

  При рассмотрении комплексных переменных изучаются К. ф. вида

где  — число, комплексно сопряженное с x_j. Если, кроме того, такая К. ф. принимает только действительные значения (это будет, когда (), то её называют эрмитовой. Для эрмитовых форм справедливы основные факты, относящиеся к действительным К. ф.: возможность приведения к сумме квадратов, инвариантность ранга, закон инерции.

  Лит.: Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970.

Квадратичное отклонение

Квадрати'чное отклоне'ние, квадратичное уклонение, стандартное отклонение величин x₁, x₂,..., x_n от а — квадратный корень из выражения

.

  Наименьшее значение К. о. имеет при а = , где  — среднее арифметическое величин x₁, x₂,..., x_n:

.

  В этом случае К. о. может служить мерой рассеяния системы величин x₁, x₂,..., x_n. Употребляют также более общее понятие взвешенного К. о.

;

числа p₁,..., p_n называют при этом весами, соответствующими величинам x₁,..., x_n. Взвешенное К. о. достигает наименьшего значения при а, равном взвешенному среднему:

(p₁x₁ +... + p_nx_n)/(p₁ +...+ p_n).

  В теории вероятностей К. о. ох случайной величины Х (от её математического ожидания) называют квадратный корень из дисперсии .

  К. о. употребляют как меру качества статистических оценок и называют в этом случае квадратичной ошибкой. См. Ошибок теория.

Квадратичное среднее

Квадрати'чноесре'днее, число (s), равное корню квадратному из среднего арифметического квадратов данных чисел a₁, a₂,..., a_n:

.

Квадратичный вычет

Квадрати'чный вы'чет, понятие теории чисел. К. в. по модулю m — число а, для которого сравнение x² º а (mod m) имеет решение: при некотором целом х число x²—a делится на m; если это сравнение не имеет решений, то а называют квадратичным невычетом. Например, если m  = 11, то число 3 будет К. в., так как сравнение x² º 3 (mod 11) имеет решения х = 5, х = 6, а число 2 будет невычетом, т.к. не существует чисел х, удовлетворяющих сравнению x² º 2 (mod 11). К. в. являются частным случаем вычетов степени n для n = 2. Если m равно простому нечётному числу р, то среди чисел 1, 2,..., р—1 имеется (р—1)/2 К. в. и (р—1)/2 квадратичных невычетов. Для изучения К. в. по простому модулю р вводится Лежандра символ , определяемый так: если а взаимно просто с р, то полагают  = 1, когда а — К. в., и  = — 1, когда а — квадратичный невычет. Основной теоремой в этом круге вопросов является так называемый закон взаимности К. в.: если р и q — простые нечётные числа, то

.

  Эту закономерность открыл около 1772 Л. Эйлер, современная формулировка дана А. Лежандром, полное доказательство впервые дал в 1801 К. Гаусс. Удобным обобщением символа Лежандра является Якоби символ. Закон взаимности К. в. получил многочисленные обобщения в теории алгебраических чисел. И. М. Виноградовыми др. учёными изучалось распределение К. в. и суммы значений символа Лежандра.

  Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972.

Квадратно-гнездовой посев