Большая Советская Энциклопедия (ЛА)

  При некоторых условиях, указанных ниже, Л. п. определяет функцию f (t) однозначно, в простейших случаях — по формуле обращения:

   (2)

  Л. п. является линейным функциональным преобразованием. Из числа основных формул Л. п. можно отметить следующие:

  ,

  , n = 1, 2, …,

  , t >0.

  Л. п. в сочетании с формулой (2) его обращения применяется к интегрированию дифференциальных уравнений. В частности, в силу свойства (1) и линейности, Л. п. решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами удовлетворяет алгебраическому уравнению 1-й степени и может быть, следовательно, легко найдено. Так, если, например, у’’ + у = f (t), y (0) = y’ (0) = 0

  и Y (p) = L [y], F (p) = L [f],

  то L [y’’] = p²Y (p)

  и p²Y (p) + Y (p) = F (p),

  откуда

 

  Многочисленные задачи электротехники, гидродинамики, механики, теплопроводности эффективно решаются методами, использующими Л. п.

  Л. п. нашло особенно широкое применение в обосновании операционного исчисления, в котором обычно вместо Л. п. F (p) вводится «изображение» оригинала f (t) — функция pF (p).

  Современная общая теория Л. п. строится на основе интегрирования в смысле Лебега (см. Интеграл). Для применимости Л. п. к функции f (t) необходимо, чтобы f (t) была интегрируема в смысле Лебега на любом конечном интервале (0, t), t > 0 и интеграл (1) для неё сходился хотя бы в одной точке p₀ = s₀ + it₀. Если интеграл (1) сходится в точке р₀, то он сходится во всех точках р, для которых Re (р—р₀) > 0. Т. о., если интеграл (1) сходится хотя бы в одной точке плоскости p₀, то либо он сходится во всей плоскости, либо существует такое число s_с, что при Re p > s_c интеграл (1) сходится, а при Re р < s_с расходится. Число s_с называется абсциссой сходимости интеграла Лапласа. F (p) —аналитическая функция в полуплоскости Re р > s_с.

  Лит.: Диткин В. А. и Кузнецов П. И., Справочник по операционному исчислению. Основы теории и таблицы формул, М. — Л., 1951; Диткин В. А. и Прудников А. П., Интегральные преобразования и операционное исчисление, М., 1961; Дёч Г., Руководство к практическому применению преобразования Лапласа, пер. с нем., М., 1965.

Лапласа теорема

Лапла'са теоре'ма, простейшая из предельных теорем теории вероятностей, относящаяся к распределению отклонений частоты появления события при независимых испытаниях от его вероятности. В общем виде эта теорема доказана П. Лапласом в книге «Аналитическая теория вероятностей» (1812). Один частный случай Л. т. был известен А. Муавру(1730), в связи с чем Л. т. иногда называется теоремой Муавра — Лапласа. Формулировка Л. т. такова. Пусть при каждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторого события Е равна р (0<р<1) и пусть m обозначает число испытаний, в которых событие Е фактически наступает; тогда вероятность неравенства

 

  при достаточно большом числе испытаний n сколь угодно мало отличается от

  .

  Если обозначить через X_k случайную величину, принимающую значение, равное 1, при появлении события Е в k-ом испытании и значение, равное 0, при его непоявлении, то m представляется как сумма независимых случайных величин m = X₁ + ...+ X_n. Это позволяет рассматривать Л. т. как частный случай более общих предельных теорем теории вероятностей, в частности Ляпунова теоремы.

  Приближённые значения вероятностей, даваемые Л. т., на практике используются как точные при npq порядка нескольких десятков и большем.

  Лит. см. при ст. Предельные теоремытеории вероятностей.

  Ю. В. Прохоров.

Лапласа уравнение

Лапла'са уравне'ние, дифференциальное уравнение с частными производными

 

  где х, у, z — независимые переменные, а u = u(x, y, z) — искомая функция. Это уравнение названо по имени П. Лапласа, рассмотревшего его в работах по теории тяготения (1782). К Л. у. приводит ряд задач физики и техники. Л. у. удовлетворяют температура при стационарных процессах, потенциал электростатического поля в точках пространства, свободных от зарядов, потенциал поля тяготения в области, не содержащей притягивающих масс, и т. п. Функции, удовлетворяющие Л. у., называются гармоническими функциями. О постановке задач для Л. у. см. в ст. Краевые задачи.

Лапласов пункт