Большая Советская Энциклопедия (ЛЕ)

Лежа'ндр (Legendre) Адриен Мари (18.9.1752, Париж, — 10.1.1833, там же), французский математик, член Парижской АН (1783). Л. обосновал и развил теорию геодезических измерений и первым открыл (1805—06) и применил в вычислениях наименьших квадратов метод. В области математического анализа им введены т. н. Лежандра многочлены, Лежандра преобразование и исследованы эйлеровы интегралы I и II рода. Л. доказал приводимость эллиптических интегралов (см. Эллиптические функции) к каноническим формам, нашёл их разложения в ряды) составил таблицы их значений. Дал первое последовательное и полное изложение современной ему теории чисел. В вариационном исчислении установил признак существования экстремума. Написал известный учебник геометрии, в котором он безуспешно пытался доказать постулат о параллельных.

  Соч.: Traité des fonctions elliptiques et dcs intégrales culériennes, t. 1—3, P., 1825—1828; Théorie des nombres, 4 éd., t. 1—2, P., 1855; в рус. пер. — Основания геометрии и тригонометрии, СПБ, 1837.

  Лит.: Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966.

А. М. Лежандр.

Лежандра многочлены

Лежа'ндра многочле'ны, сферические многочлены, специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Впервые рассматривалась А. Лежандроми П. Лапласом (в 1782—85) независимо друг от друга. Для n = 0,1,2,... Л. м. Р (х) могут быть определены формулой:

  ,

  в частности:

  , , ,

  ,

  ,

   

  и т.д. Все нули многочлена P_n (x) — действительные и лежат в основном промежутке [—1, +1], перемежаясь с нулями многочлена P_n+i (x). Л. м. — ортогональные многочлены с весом 1 на отрезке [—1, +1,]; они образуют полную систему, чем обусловливается возможность разложения в ряд по Л. м. произвольной функции f (x), интегрируемой на отрезке [—1, +1]:

  ,

  где .

  Характер сходимости рядов по Л. м. примерно тот же, что и рядов Фурье.

  Явное выражение для Л. м.:

  .

  Производящая функция:

 

  (Л. м. — коэффициенты при n-й степени в разложении этой функции по степеням t). Рекуррентная формула:

  nP_n (x) + (n - 1) P_n-2(x) - (2n - 1) xP_n-1(x) = 0.

  Дифференциальное уравнение для Л. м.

 

  возникает при разделении переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах. См. также Сферические функции.

  Лит.: Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, пер. с нем., 2 изд., М., 1968; Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М. — Л., 1963.

  В. Н. Битюцков.

Лежандра преобразование

Лежа'ндра преобразова'ние, частный случай прикосновения преобразований; имеет вид:

  Х = у'(х), Y(X) = xy'(x) — y(x), Y'(X) = x. Из этих формул вытекает, что и обратно x = Y'(X), y(x) = XY'(X)-Y(X), у'(х)=Х. Таким образом, Л. п. двойственно самому себе. Л. п. переводит дифференциальное уравнение первого порядка

  F(x, y, y') = 0  (1)

  в уравнение

  F(Y', XY'-Y, x) = 0,  (2)

  которое иногда интегрируется проще исходного. Зная решение уравнения (2), можно получить решение уравнения (1). Л. п. употребляется также при рассмотрении дифференциальных уравнений гидродинамики. Л. п. получило своё название по имени А. Лежандра, впервые изучившего его (1789).

Лежандра символ

Лежа'ндра си'мвол, обозначение , характеризующее принадлежность числа а к совокупности квадратичных вычетов по простому нечётному модулю р. Л. с. введён А. Лежандром (1785). О свойствах Л. с. см. Квадратичный вычет.

Лежачий бок

Лежа'чий бок, горные породы, залегающие ниже пласта (залежи) полезного ископаемого, породы, непосредственно подстилающие пласт, называются подошвой пласта.

Леже Алекси

Леже' (Léger) Алекси (р. 1887), французский поэт; см. Сен-Жон Перс.

Леже Фернан