Большая Советская Энциклопедия (МА)

  Математическая формулировка задачи М. п.: минимизировать скалярную функцию j(x ) векторного аргумента х на множестве

  X = {x : g_i (x ) ³ 0, h_i (x ) = 0, I = 1, 2, ..., k },

  где g_i (x ) и h_i (x ) — также скалярные функции; функцию j(x ) называют целевой функцией, или функцией цели, множество X — допустимым множеством, решение х* задачи М. п. — оптимальной точкой (вектором).

  В М. п. принято выделять следующие разделы. Линейное программирование : целевая функция j(x ) и ограничения g_i (x ) и h_i (х ) линейны; выпуклое программирование: целевая функция и допустимое множество выпуклы; квадратичное программирование: целевая функция квадратична и выпукла, допустимое множество определяется линейными равенствами и неравенствами; дискретное программирование: решение ищется лишь в дискретных, например целочисленных, точках множества X ; стохастическое программирование: в отличие от детерминированных задач, здесь входная информация носит элементы неопределённости; например, в стохастических задачах о минимизации линейной функции

 

при линейных ограничениях

  , i = 1, 2, …, m ,

либо все величины c_j , a_ij , b_i , либо часть из них случайны.

  Задачи перечисленных разделов обладают общим свойством: всякая точка локального минимума является оптимальной точкой. Несколько в стороне находятся так называемые многоэкстремальные задачи — задачи, для которых указанное свойство не выполняется.

  В основе теории выпуклого программирования и, в частности, линейного и квадратичного, лежит теорема Куна — Таккера о необходимых и достаточных условиях существования оптимальной точки x* : для того чтобы точка х* была оптимальной, то есть

  ,

  X = {x : g_i (x ) ³ 0, i = 1, 2, ..., k },

необходимо и достаточно, чтобы существовала такая точка у* = (у*₁ , у*₂ , ..., у*_k ), чтобы пара точек х* , у* образовывала седло функции Лагранжа

 

  Последнее означает, что

  L (x*, y ) £ L (x*, y* ) £ L (x, у* )

для любых х и всех у ³ 0. Если ограничения g_i (x ) нелинейны, то теорема справедлива при некоторых дополнительных предположениях о допустимом множестве.

  Если функции j(x ) и g_i (x ) дифференцируемы, то следующие соотношения определяют седловую точку

  , j = 1, 2, …, n ;

  ; ; i = 1, 2, …, k ;

  , y _i ³ 0, i = 1, 2, …, k .

  Таким образом, задача выпуклого программирования сводится к решению системы уравнений и неравенств.

  На основе теоремы Куна — Таккера разработаны различные итерационные методы минимизации, сводящиеся к поиску седловой точки функции Лагранжа.

  В М. п. одно из главных мест принадлежит вычислительным методам решения экстремальных задач. Широким классом таких методов являются методы проектирования. Идея этих методов состоит в следующем. В точке x^k Î X выбирается направление спуска s^k , то есть одно из направлений, по которому функция j(x ) убывает, и вычисляется x^k+1 = p (x^k + a_k s^k ), где p (x^k + a_k s^k ) означает проекцию точки x^k + a_k s^k на множество X :

  ,

число a_k > 0 выбирается при этом так, чтобы j(x^{k +1} ) < j(x^k ). Существуют различные варианты методов проектирования. Наиболее распространённым из них является метод проекции градиента, когда s^k = —grad j(x^k ). В М. п. доказано, что при определённых условиях на целевую функцию и допустимое множество, последовательность {х^k }, построенная методом проекции градиента, такова, что   стремится к нулю со скоростью геометрической прогрессии.

  Характерной особенностью вычислительной стороны методов решений задач М. п. является то, что применение этих методов неразрывно связано с использованием электронных вычислительных машин, в первую очередь потому, что задачи М. п., связанные с ситуациями управления реальными системами, являются задачами большого объёма, недоступными для ручного счёта.

  Важным направлением исследования в М. п. являются проблемы устойчивости. Здесь существ. значение имеет изучение класса устойчивых задач — задач, для которых малые возмущения (погрешности) в исходной информации влекут за собой малые возмущения и в решении. В случае неустойчивых задач большая роль отводится процедуре аппроксимации неустойчивой задачи последовательностью устойчивых задач — так называемому процессу регуляризации.

  М. п. как наука сформировалось в 50—70-х годах 20 века. Это обусловлено главным образом развитием электронных вычислительных машин, а следовательно, с возможностью проводить математическую обработку больших потоков информации, и на этой основе решать задачи управления и планирования, где применение математических методов связано в первую очередь с построением математических моделей и соответствующих им экстремальных задач, в том числе задач М. п.

  Лит.: Зуховицкий С. И., Авдеева Л. И., Линейное и выпуклое программирование, 2 изд., М., 1967; Хедли Дж., Нелинейное и динамическое программирование, перевод с английского, М., 1967.

  В. Г. Карманов.

Матенадаран