Большая Советская Энциклопедия (МН)

  Операции сложения и пересечения множеств удовлетворяют условиям сочетательности и переместительности (см. Ассоциативность , Коммутативность ). Операция пересечения, кроме того, распределительна по отношению к сложению и вычитанию. Эти действия обладают тем общим свойством, что если их производить над множествами, являющимися подмножествами одного и того же множества М , то и результат будет подмножеством множества М . Указанным свойством не обладает т. н. внешнее умножение множеств: внешним произведением множеств Х и Y называется множество Х ' У всевозможных пар (х, у ), где х ^I Х , y ^I Y . Другим в этом смысле «внешним» действием является «возведение в степень»: степенью Y^X называется множество всех отображений множества Х в множество Y . Можно определить внешнее умножение любого множества множеств так, что в случае совпадения множителей оно перейдёт в возведение в степень. Если x и h мощности множеств Х и Y , то xh и h^x определяются соответственно как мощности множеств Х ' Y и Y^Х , что в случае конечных множеств согласуется с умножением и возведением в степень натуральных чисел. Аналогично определяется сумма мощностей как мощность суммы попарно непересекающихся множеств с заданными мощностями.

  Упорядоченные множества. Установить в данном множестве Х порядок — значит установить для некоторых пар x', х" элементов этого множества какое-то правило предшествования (следования), выражаемое словами «элемент x' предшествует элементу х", x' < х" », или, что то же, «элемент x' следует за элементом х", x' < х" », причём предполагается выполненным условие транзитивности: если х < x' и x' < х", то х < х". Множество, рассматриваемое вместе с каким-нибудь установленным в нём порядком, называется «частично упорядоченным множеством»; иногда вместо «частично упорядоченное множество» говорят «упорядоченное множество» (Н. Бурбаки ). Однако чаще упорядоченным множеством называется такое частично упорядоченное множество, в котором порядок удовлетворяет следующим дополнительным требованиям («линейного порядка»): 1) никакой элемент не предшествует самому себе; 2) из всяких двух различных элементов х, x' один предшествует другому, т. е. или х < x' , или x’ < х .

  Примеры. 1) Всякое множество , элементами которого являются некоторые множества х , является «частично упорядоченным ''по включению''»: х < x' , если х `I x'.

  2) Любое множество функций f , определённых на числовой прямой, частично упорядочено, если положить f₁ < f₂ , тогда и только тогда, когда для каждого действительного числа х имеем f₁ (x ) lb f₂ (x ).

  3) Всякое множество действительных чисел линейно упорядочено: меньшее из двух чисел считается предшествующим большему.

  Два упорядоченных множества называются подобными между собой, или имеющими один и тот же порядковый тип, если между ними можно установить (1—1)-соответствие, сохраняющее порядок. Элемент упорядоченного множества называется первым, если он предшествует в этом упорядоченном множестве всем остальным элементам; аналогично определяется и последний элемент. Примеры: в упорядоченном множестве всех действительных чисел нет ни первого, ни последнего элемента; в упорядоченном множестве всех неотрицательных чисел нуль есть первый элемент, а последнего элемента нет; в упорядоченном множестве всех действительных чисел x , удовлетворяющих неравенствам а lb х lb b , число а есть первый элемент, b — последний.

  Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если оно само и всякое его правильное подмножество имеют первый элемент. Порядковые типы вполне упорядоченных множеств называются порядковыми, или ординальными, числами. Если вполне упорядоченное множество конечно, то его порядковое число есть обычное порядковое число элементарной арифметики. Порядковые типы бесконечных вполне упорядоченных множеств называются трансфинитными числами .