Большая Советская Энциклопедия (ОБ)

(формула дифференцирования О. ф.). Так, для —p/2 < х < p/2, у = f (x) = sin х непрерывна и монотонна, f’(x) = cos х ¹ 0 и f^{- -1}(y)= arc sin у (—1< y <1) дифференцируема, причём

где имеется в виду положительное значение корня (так как cos х > 0 для —p/2 <  х <  p/2).

Обратно пропорциональные величины

Обра'тно пропорциона'льные величи'ны, две величины, связанные между собой так, что с увеличением (уменьшением) одной величины в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз. О. п. в. х и у связаны соотношением ху = k (то есть х =  и у = , где k постоянно).

Обратное требование

Обра'тное тре'бование, см. Регрессный иск.

Обратное число

Обра'тное число', число, произведение которого с данным числом равно единице. Два таких числа называются взаимно обратными. Таковы, например, 5 и ,  и  и т.д. Для всякого числа а, не равного нулю, существует обратное .

Обратные гиперболические функции

Обра'тные гиперболи'ческие фу'нкции, функции, обратные по отношению к гиперболическим функциямsh х, ch х, th х; они выражаются формулами

 (*)

  (читается: ареа-синус гиперболический, ареа-косинус гиперболический, ареа-тангенс гиперболический). Эти обозначения происходят от лат. area — площадь (гиперболические функции могут рассматриваться как функции площади гиперболического сектора). Производные О. г. ф. имеют вид

,

,

.

  Поэтому О. г. ф. часто появляются при интегрировании рациональных дробей и квадратичных иррациональностей.

  О. г. ф., рассматриваемые в комплексной области, многозначны. Их однозначные ветви (главные значения) получаются, если в формулах (*) брать для логарифма его главные значения; они обозначаются ar sh z; ar ch z, ar th z. Главные значения О. г. ф. связаны с главными значениями обратных тригонометрических функций формулами

,

,

.

Обратные тригонометрические функции

Обра'тные тригонометри'ческие фу'нкции, аркфункции, круговые функции, решают следующую задачу: найти дугу (число) по заданному значению её тригонометрической функции. Шести основным тригонометрическим функциям соответствуют шесть О. т. ф.: 1) Arc sin х («арксинус x») — функция, обратная sin х; 2) Arc cos x («арккосинус x») — функция, обратная cos х; 3) Arc tg x («арктангенс x») — функция, обратная tg х; 4) Arc ctg x («арккотангенс x») — функция, обратная ctg x; 5) Arc sec x («арксеканс x») — функция, обратная sec x; 6) Arc cosec x («арккосеканс x») — функция, обратная cosec x. Согласно этим определениям, например, х = Arc sin a есть любое решение уравнения sin х = a, т.е. sin Arc sin a = a. Функции Arc sin x и Arc cos x определены (в действительной области) для |х| £ 1, функции Arc tg х и Arc ctg х — для всех действительных х, а функции Arc sec х и Arc cosec х:—для |х| ³ 1; две последние функции малоупотребительны.

  Так как тригонометрические функции периодические, то обратные к ним функции являются многозначными функциями. Определённые однозначные ветви (главные ветви) этих функций обозначаются так: arc sin х, arc cos x,..., arc cosec x. Именно, arc sin х есть та ветвь функции Arc sin х, для которой — p/2 £ arc sin х £ p/2. Аналогично, функции arc cos х, arc tg х и arc ctg х определяются из условий: 0 £ arc cos х £ p, — p/2 < arc tg x < p/2, 0 x < p. На рис. изображены графики функций у = Arc sin x, у = Arc cos x, у = Arc tg x, у = Arc ctg x; главные Arc cos x = ± arc cos x +2pn,ветви этих функций выделены жирной линией. О. т. ф. Arc sin х,... легко выражаются через arc sin x,..., например

n = 0, ±1, ±2, …

  Известные соотношения между тригонометрическими функциями приводят к соотношениям между О. т. ф., например из формулы

вытекает, что

Производные О. т. ф. имеют вид

О. т. ф. могут быть представлены степенными рядами, например

эти ряды сходятся для —1 £ x £ 1.

  О. т. ф. можно определить для произвольных комплексных значений аргумента; однако их значения будут действительными лишь для указанных выше значений аргумента. О. т. ф. комплексного аргумента могут быть выражены с помощью логарифмической функции, например

.

  Лит.: Новоселов С. И., Обратные тригонометрические функции, 3 изд., М., 1950.

Обратный клапан

Обра'тный кла'пан, устройство, пропускающее поток жидкости или газа по трубопроводу только в одном направлении и автоматически закрывающееся при перемене направления потока. Применяется в различных теплоэнергетических и технологических установках.

Обратный код

Обра'тный код, см. в статье Код в ЦВМ.

Обратный словарь