Большая Советская Энциклопедия (ПО)

— единичный вектор нормали к поверхности. Величина h с точностью до малых более высокого порядка относительно du, du равна расстоянию от точки М’ поверхности с координатами u + du, u + du до касательной плоскости g в точке М с координатами u, u, причём расстояние берётся со знаком + или — в зависимости от того, с какой стороны от у расположена точка М'. Если форма (2) знакоопределённая, то поверхность в достаточно малой окрестности точки М располагается по одну сторону от касательной плоскости g, и в этом случае точка М поверхности называется эллиптической (рис. 1 ). Если форма (2) знакопеременная, то поверхность в окрестности точки М располагается по разные стороны от плоскости g, и точка М тогда называется гиперболической (рис. 2 ). Если форма (2) знакоопределённая, но принимает нулевые значения (при не равных одновременно нулю du и du ), то точка М называется параболической (на рис. 3 показан один из примеров строения поверхности в окрестности параболической точки).

  Более точная характеристика пространственной формы поверхности может быть получена с помощью исследования геометрических свойств линий на поверхности. Пусть М — некоторая точка поверхности S и n — единичный вектор нормали к поверхности в М. Линия (L ) пересечения S с плоскостью, проходящей через n в направлении  называется нормальным сечением в этом направлении, а ее кривизна — нормальной кривизной 1/R, которая вычисляется по формуле:

.

  Нормальная кривизна поверхности в данной точке М в данном направлении  может рассматриваться как мера искривлённости поверхности в М в направлении . Экстремальные значения нормальной кривизны в данной точке называется главными кривизнами, а соответствующие направления на поверхности — главными направлениями. Кривизна произвольного нормального сечения в данной точке связана простым соотношением с главными кривизнами (см. Эйлера формулы ). Если главная кривизны в точке М различны, то в этой точке существуют два различных главных направления. Линии, направления которых в каждой точке являются главными, называются линиями кривизны. Направления, в которых нормальная кривизна равна нулю, называются асимптотическими, а линии, имеющие в каждой точке асимптотическое направление, — асимптотическими линиями. Поверхность, состоящая из эллиптических точек (например, сфера), не имеет асимптотических линий. Поверхность, состоящая из гиперболических точек, имеет два семейства асимптотических линий (например, две системы прямолинейных образующих однополостного гиперболоида). Поверхность, состоящая из параболических точек, имеет одну систему асимптотических линий — систему прямолинейных образующих. Дальнейшее изучение свойств произвольных линий на поверхности (в первую очередь кривизн линий) тесно связано с кривизнами нормальных сечений. Кривизна k в данной точке М произвольной линии Г может быть вычислена по формуле:

,

где k_n — кривизна нормального сечения L в точке М в направлении касательной к Г, а q — угол между главными нормалями к Г и L в этой точке (см. Мёнье теорема ).

  Поверхности, между точками которых можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что длины соответствующих линий равны, называются изометричными. Изометричные поверхности имеют одинаковую внутреннюю геометрию, но их пространственное строение может быть различным и главные кривизны в соответствующих точках у них могут быть также различными (например, окрестность точки на плоскости изометрична некоторой окрестности точки на цилиндре, но имеет иную пространственную структуру). Однако произведение К главных кривизн 1/R₁ и 1/R₂ в точке М не меняется при изометричных преобразованиях поверхности (теорема Гаусса, 1826) и может служить внутренней мерой искривлённости поверхности в данной точке. Величина К называется полной (или гауссовой) кривизной поверхности в точке М и выражается соотношением:

,     (2)

которое называется формулой Гаусса (полная кривизна в соответствии с теоремой Гаусса может быть выражена только через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные). Приведённая выше классификация точек регулярной поверхности может быть сопоставлена со значениями полной кривизны: в эллиптической точке кривизна положительна, в гиперболической — отрицательна и в параболической — равна нулю.

  Во многих вопросах П. т. рассматривается другая характеристика искривлённости поверхности — т. н. средняя кривизна, равная полусумме главных кривизн поверхности. Так, например, одним из объектов исследований П. т. являются минимальные поверхности , средняя кривизна которых в каждой точке равна нулю.