Большая Советская Энциклопедия (РА)

  Из общих принципов квантовой теории (микропричинности условия,релятивистской инвариантности и др.) следует, что матричные элементы S-матрицы являются аналитическими функциямив некоторых областях комплексных переменных. Аналитические свойства матричных элементов S-матрицы позволяют получить ряд соотношений между определяемыми из опыта величинами — т. н. дисперсионные соотношения (см. Сильные взаимодействия),Померанчука теоремуи др.

  В случае упругого рассеяния бесспиновых частиц асимптотика волновой функции Y(r), являющейся решением Шрёдингера уравнения, имеет вид:

     (3)

  Здесь r — расстояние между частицами, k = p/ — волновой вектор, р — импульс в системе центра инерции (с. ц. и.) сталкивающихся частиц,  — постоянная Планка, J — угол рассеяния, f (J) — амплитуда рассеяния, зависящая от угла рассеяния и энергии сталкивающихся частиц. Первый член в этом выражении описывает свободные частицы с импульсом р = k (падающая волна), второй — частицы, идущие от центра (рассеянная волна). Дифференциальное сечение рассеяния определяется как отношение числа частиц, рассеянных за единицу времени в элемент телесного угла dW, к плотности потока падающих частиц. Сечение рассеяния на угол J (в с. ц. и.) в единичный телесный угол равно:

     (4)

  Для амплитуды рассеяния имеет место следующее разложение по парциальным волнам (волнам с определённым орбитальным моментом l):

     (5)

  Здесь P_l (cosJ) — Лежандра многочлен, S_l — коэффициенты разложения, которые зависят от характера взаимодействия и являются матричными элементами S-матрицы (в представлении, в котором она диагональна по энергии, моменту количества движения и проекции момента). Если число падающих на центр частиц с моментом l равно числу идущих от центра частиц с тем же моментом (случай упругого рассеяния), то IS_ll = 1. В общем случае lS_ll £ 1. Эти условия являются следствием условия унитарности S-матрицы. Если возможно только упругое рассеяние, то S_l может быть представлено в виде: S_l = e^2id_l , где d_l — вещественные величины, называемые фазами рассеяния. Если d_l = 0 при некотором l, то рассеяние в состояние с орбитальным моментом l отсутствует.

  Полное сечение упругого рассеяния равно:

     (6)

где ; — парциальное сечение упругого рассеяния частиц с орбитальным моментом l, = 1/k — длина волны де Бройля частицы. При Sl = —1  достигает максимума и равно:

     (7)

при этом d_l = p/2 (резонанс в рассеянии). Т. о., при резонансе сечение процесса определяется де-бройлевской длиной волны  и для медленных частиц, для которых  >> R₀, где R₀ — радиус действия сил, намного превосходит величину pR₀² (классическое сечение рассеяния). Этот факт (непонятный с точки зрения классической теории рассеяния) является следствием волновой природы микрочастиц.

  Поведение сечения рассеяния вблизи резонанса определяется формулой Брейта — Вигнера:

,     (8)

где E₀ — энергия, при которой сечение достигает максимума (положение резонанса), а Г— ширина резонанса. При Е = E₀ ± ¹/₂G сечение s_l равно ¹/₂ . Полное сечение всех неупругих процессов равно:

     (9)

  Условие унитарности ограничивает величину парциального сечения для неупругих процессов:

.     (10)

  Для короткодействующих потенциалов взаимодействия основную роль играют фазы рассеяния с l £ b/k, где b — радиус действия сил. Это условие можно переписать следующим образом: l/k £ b; величина l/k определяет минимальное расстояние, на которое может приблизиться к центру сил свободная частица с моментом l (прицельный параметр в квантовой теории). При bk << 1 (малые энергии) следует учитывать только S-волну (парциальную волну с l = 0). Амплитуда рассеяния в этом случае равна:

     (11)

и сечение рассеяния не зависит от угла (рассеяние сферически симметрично). При малых энергиях имеет место разложение:

     (12)

  Параметры а и r₀ называются соответственно длиной рассеяния и эффективным радиусом рассеяния. Эти величины определяются из опыта и являются важными характеристиками сил, действующих между частицами. Длина рассеяния равна по величине и противоположна по знаку амплитуде рассеяния при k = 0. Полное сечение рассеяния в точке k = 0 равно s₀ = 4pa².

  Если у частиц имеется связанное состояние с малой энергией связи, то рассеяние таких частиц при kb << 1 носит резонансный характер (типичный пример — рассеяние нейтронов протонами в состоянии с полным спином J = 1; в этом состоянии у системы нейтрон — протон имеется уровень, соответствующий связанному состоянию — дейтрону). Сечение рассеяния в этом случае зависит только от энергии связи.

  Если параметр kb невелик, фазы рассеяния могут быть найдены из измеренных на опыте значений сечения и др. величин. Эта процедура называется фазовым анализом. Найденные путём фазового анализа фазы рассеяния сравниваются с предсказаниями теории и позволяют, т. о., получить важную информацию о характере взаимодействия.