Большая Советская Энциклопедия (СХ)

  В математическом анализе используются различные виды С. последовательности функций {f_n (x)} к функции f (x) (на некотором множестве М). Если  для каждой точки X (из М), то говорят о С. в каждой точке [если это равенство не имеет места лишь для точек, образующих множество меры нуль (см. Мера множества), то говорят о С. почти всюду]. Несмотря на свою естественность, понятие С. в каждой точке обладает многими нежелательными особенностями [например, последовательность непрерывных функций может сходиться в каждой точке к разрывной функции; из С. функций f_n (x) к f (x) в каждой точке не следует, вообще говоря, С. интегралов от функций f_n (x) к интегралу от f (x) и т. д.]. В связи с этим было введено понятие равномерной С., свободное от этих недостатков: последовательность {f_n (x)} называется равномерно сходящейся к f (x) на множестве М, если

 

Этот вид С. соответствует определению расстояния между функциями f (x) и ((х) по формуле

 

Д. Ф. Егоров доказал, что если последовательность измеримых функций сходится почти всюду на множестве М, то из М можно так удалить часть сколь угодно малой меры, чтобы на оставшейся части имела место равномерная С.

  В теории интегральных уравнений, ортогональных рядов и т. д. широко применяется понятие средней квадратической С.: последовательность {f_n (x)} сходится на отрезке [a, b] в среднем квадратическом к f (x), если

  .

Более общо, последовательность {f_n (x)} сходится в среднем с показателем р к f (x), если

  .

Эта С. соответствует заданию расстояния между функциями по формуле

  .

Из равномерной С. на конечном отрезке вытекает С. в среднем с любым показателем р. Последовательность частичных сумм разложения функции j(х) с интегрируемым квадратом по нормированной ортогональной системе функций может расходиться в каждой точке, но такая последовательность всегда сходится к j(х) в среднем квадратическом. Рассматриваются также другие виды С. Например, С. по мере: для любого e  > 0 мера множества тех точек, для которых , стремится к нулю с возрастанием n', слабая С.:

 

для любой функции j(x) с интегрируемым квадратом (например, последовательность функций sinx, sin2x,..., sinnx,... слабо сходится к нулю на отрезке [—p, p], так как для любой функции j(х) с интегрируемым квадратом коэффициенты  ряда Фурье стремятся к нулю).

  Указанные выше и многие другие понятия С. последовательности функций систематически изучаются в функциональном анализе, где рассматриваются различные линейные пространства с заданной нормой (расстоянием до нуля) — так называемые банаховы пространства. В таких пространствах можно ввести понятия С. функционалов, операторов и т. д., определяя для них соответствующим образом норму. Наряду со С. по норме (так называемой сильной С.), в банаховых пространствах рассматривается слабая С., определяемая условием  для всех линейных функционалов; введённая выше слабая С. функций соответствует рассмотрению нормы . В современной математике рассматривается также С. по частично упорядоченным множествам (см. Упорядоченные и частично упорядоченные множества). В теории вероятностей для последовательности случайных величин употребляются понятия С. с вероятностью 1 и С. по вероятности.

  Ещё математики древности (Евклид, Архимед) по существу употребляли бесконечные ряды для нахождения площадей и объёмов. Доказательством С. рядов им служили вполне строгие рассуждения по схеме исчерпывания метода. Термин «С.» в применении к рядам был введён в 1668 Дж. Грегори при исследовании некоторых способов вычисления площади круга и гиперболического сектора. Математики 17 в. обычно имели ясное представление о С. употребляемых ими рядов, хотя и не проводили строгих с современной точки зрения доказательств С. В 18 в. широко распространилось употребление в анализе заведомо расходящихся рядов (в частности, их широко применял Л. Эйлер). Это, с одной стороны, привело впоследствии ко многим недоразумениям и ошибкам, устранённым лишь с развитием отчётливой теории С., а с другой — предвосхитило современную теорию суммирования расходящихся рядов. Строгие методы исследования С. рядов были разработаны в 19 в. (О. Коши, Н. Абель, К. Вейерштрасс, Б. Больцано и др.). Понятие равномерной С. было введено Дж. Стоксом. Дальнейшие расширения понятия С. были связаны с развитием теории функций, функционального анализа и топологии.

  Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., т. 1—2, М., 1971—73; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1—2, М., 1970; Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 1—2, М., 1973.

Сходница

Схо'дница, посёлок городского типа в Львовской области УССР. Подчинён Бориславскому горсовету. Расположен в 9 км от ж.-д. станции Борислав. Нефтепромысел, лесозавод и др. предприятия. Пансионаты: «Карпаты», «Гуцулка».

Сходня