Большая Советская Энциклопедия (ЦИ)

[где Г (z ) — гамма-функция ; ряд справа сходится при всех значениях х ], называется Ц. ф. первого рода порядка n. В частности, Ц. ф. нулевого порядка имеет вид:

  Если n — целое отрицательное: n = — n, то J _n (x ) определяется так:

J_-n (x ) = (— 1) ⁿ J_n (x ).

  Ц. ф. порядка n = m  + ¹ /₂ , где m — целое число, сводится к элементарным функциям, например:

,

  Функции J _n (x ) и уравнение (1) называют также по имени Ф. Бесселя (Бесселя функции , Бесселя уравнение ). Однако эти функции и уравнение (1) были получены ещё Л. Эйлером при изучении колебаний мембраны в 1766, т. е. почти за 50 лет до работ Бесселя; функция нулевого порядка встречается ещё раньше в работе Д. Бернулли , посвященной колебанию тяжёлой цепи (опубликована в 1738), а функция порядка ¹ /₃ в письме Я. Бернулли к Г. Лейбницу (1703).

  Если n не является целым числом, то общее решение уравнения (1) имеет вид

y = C₁ J _n (x ) + C₂ J_{- n} (x ),      (2)

где C₁ и C₂   — постоянные. Если же n — целое, то J _n (x ) и J_{- n} (x) линейно зависимы, и их линейная комбинация (2) уже не является общим решением уравнения (1). Поэтому, наряду с Ц. ф. первого рода, вводят ещё Ц. ф. второго рода (называемые также функциями Вебера):

  При помощи этих функций общее решение уравнения (1) может быть записано в виде

у = C₁ J_n (x) + C₂ Y _n (x )

(как при целом, так и при нецелом n).

В приложениях встречается также Ц. ф. мнимого аргумента  

и

(функция Макдональда). Эти функции удовлетворяют уравнению

общее решение которого имеет вид

y = C₁ l _n (x ) + C₂ K _n (x )

(как при целом, так и нецелом n). Часто употребляются ещё Ц. ф. третьего рода (или функции Ганкеля)

,

а также функции Томсона ber (х ) и bei (x ), определяемые соотношением

ber (x ) + i bei (x ) = I₀ (x ).

  Важную роль играют асимптотические выражения Ц. ф. для больших значений аргумента:

,

,

,

,

из которых, в частности, вытекает, что Ц. ф. J_n (x ) и Y_n (x ) имеют бесконечное множество действительных нулей, расположенных так, что вдали от начала координат они как угодно близки к нулям функций, соответственно,

 и

  Ц. ф. изучены очень детально и для комплексных значений аргументов. Для вычислений существует большое число таблиц Ц. ф.

  Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М., 1969; Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Основы теории специальных функций, М., 1974; Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, пер. с англ., ч. 1—2, М., 1949; Бейтмен Г., Эрдей А., Высшие трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., т. 2, М., 1974.

Цилиндрическое поле

Цилиндри'ческое по'ле, понятие поля теории . Векторное поле а (Р ) называется Ц. п., если существует такая прямая (ось поля), что все векторы а (Р ) лежат на прямых, проходящих через ось и перпендикулярных ей, а длина их зависит только от расстояния r точки Р до оси, то есть а (Р ) = f (r ) r⁰ , где r⁰ — единичный вектор прямой. Скалярное поле u (Р ) называется Ц. п., если существует такая прямая (ось поля), что u (P ) зависит только от расстояния r точки Р до этой оси, то есть u (P ) = j(r ). Примером векторного Ц. п. является поле электрической напряжённости в бесконечном цилиндрическом конденсаторе; примером скалярного Ц. п. — поле потенциала в таком конденсаторе.

Цилиндровая мощность

Цили'ндровая мо'щность, мощность, развиваемая в одном цилиндре поршневой машины (двигателя внутреннего сгорания, паровой машины и др.). Ц. м. зависит от среднего эффективного давления, средней скорости поршня и диаметра цилиндра.

  Основным путём увеличения Ц. м. является рост среднего эффективного давления. Так, в 1955—75 Ц. м. среднеоборотных дизелей почти удвоилась, причём 75% её прироста получено при помощи увеличения среднего эффективного давления. Ц. м. малооборотных 2-тактных дизелей достигает 4000 л. с. (1 л. с. = 0,7355 квт ), среднеоборотных дизелей 1500 л. с., автомобильных дизелей 100 л. с., тракторных дизелей 50 л. с., автомобильных карбюраторных двигателей 40 л. с., микролитражных двигателей до 1 л. с. Ц. м. у 2-тактных двигателей больше, чем у 4-тактных.

Цилиндровые масла

Цили'ндровые масла', малоочищенные масла нефтяные , используемые для смазывания цилиндров, золотников, штоков и клапанов паровых машин. Некоторые Ц. м. применяют в судовых крейцкопфных дизелях. Ц. м. обладают хорошей смазывающей способностью, не склонны к нагарообразованию, предотвращают коррозию металлических поверхностей. Различают Ц. м. для машин, работающих с насыщенным и с перегретым паром. Ц. м. имеют сравнительно высокую вязкость (до 70×10^-6 м² /сек при 100 °С), обусловливающую их герметизирующую способность и стойкость к смыванию конденсатом или влажным паром.

Цилле Генрих