Больцман. Термодинамика и энтропия

Утверждение Ницше не имело мистической природы и базировалось не на призрачных аргументах; он несколько лет изучал физику, чтобы обосновать свой принцип. И пусть его доказательство не обладает математической строгостью, как более позднее доказательство Пуанкаре, в общих чертах оно верно. Некоторые авторы утверждают, что на самом деле оно настолько же справедливо, как и доказательство Пуанкаре, но в распоряжении Ницше не было математических инструментов, необходимых для доказательства гипотезы, хотя не исключено, что это преувеличение. Ницше рассматривал вечное возвращение так:

"Если Вселенную можно расценивать как определенное количество энергии, как определенное число центров энергии, (...J то из этого можно сделать вывод, что Вселенная должна пройти через исчисляемое количество сочетаний [...]. В бесконечности, рано или поздно, все возможные сочетания должны были бы возникнуть; причем бесконечное число раз".

Использование термина "энергия" в анахроническом смысле делает формулировку Ницше сложной, но его аргумент прост: если существует ограниченное число материи (или энергии) во Вселенной и если она конечна в пространстве, тогда число возможных сочетаний материй обязательно конечно. Если время бесконечно, то сочетания обречены на то, чтобы повторяться бесконечное число раз. Подобное объяснение, но с использованием математических терминов, было дано Пуанкаре десять лет спустя. На рисунке показано это же утверждение: дискретная система, такая как множество из девяти квадратов, где один закрашен, имеет конечное число состояний и возвращается к начальному состоянию самое большее после прохождения через все возможные конфигурации.

Возражение Цермело Больцману заключалось в следующем: Больцман утверждает, что может доказать, что величина Н — энтропия с отрицательным значением — всегда уменьшается. Но в теореме Пуанкаре доказывается: при данном достаточном времени любое сочетание атомов снова повторится, и, значит, произойдет возвращение к изначальной энтропии. Следовательно, утверждение Больцмана не может быть верным.

Больцман, истощенный противостоянием энергетикам и слабым здоровьем, ответил довольно едко. Он начал свой ответ словами: "теорема Пуанкаре, на которой основаны комментарии Цермело, явно верна, но ее применение к теории тепла, сделанное Цермело, неверно". Для обоснования своего утверждения он привел следующие аргументы:

"Природа кривой Н (энтропии относительно времени), которую можно вывести из кинетической теории, такова, что если начальное состояние значительно отклоняется от распределения Максвелла, то оно будет стремиться к этому распределению с высокой степенью вероятности и в течение чрезвычайно долгого времени будет отклоняться от него только в невероятно малых количествах. Если подождать достаточно долго, начальное состояние рано или поздно снова возникнет, но время рекурсии столь велико, что нет никакой возможности когда-либо его наблюдать".

Больцман приходил к выводу, что "статья Цермело показывает, насколько неправильно были поняты мои работы; в любом случае, мне она приятна, так как, кажется, это первый признак того, что кто-то в Германии обратил на них внимание". Его ответ был ясен: Цермело прав в том, что начальная конфигурация повторится, но ошибается, думая, что это делает недействительной теорию, которую он развил. Теория Больцмана предсказывала не только эти повторения, но и то, что они будут происходить на таких больших промежутках, что их никогда нельзя будет наблюдать, поэтому на практике никто никогда не будет наблюдать уменьшения энтропии.

В этом основное различие между физиками и математиками. Доказательство Больцмана, имеющее вероятностную природу, не могло быть воспринято математиком адекватно: теоремы, следующие из определенного числа аксиом, не могут быть действительными иногда, они должны быть справедливы для любого случая. По этой причине, несмотря на то что никогда не было найдено четное число, которое нельзя было бы выразить в виде суммы двух простых чисел (знаменитая гипотеза Гольдбаха), математики не считают, что это так. Поэтому доказательство Больцмана, подходящее для физика, не могло быть принято математиком.

Больцман (в центр·) в кругу ученых, среди них Сванте Аррениус (справа от Больцмана), 1897 год.

Герман фон Гельмгольц, физик, уважаемый Больцманом.