Бумажный зверинец

«Решил, что ты умный, да? — Он представил злобный взгляд Джека, его желтые зубы и запах перегара изо рта. — Совсем как твой папаша. Только посмотри, куда довел его умишко, когда он не сумел удержать член в штанах».

— Он задумался о размере бесконечности, — продолжила мисс By. — Человеку трудно представить бесконечность, но Кантор дал нам возможность быстро взглянуть на нее и удержать в сознании, пусть даже на секунду.

Как по‑вашему, что больше: бесконечный набор всех положительных рациональных чисел или бесконечный набор всех натуральных чисел?

Вполне естественной кажется мысль, что положительных рациональных чисел гораздо больше, чем натуральных. В конце концов, только между нулем и единицей имеется бесконечное количество рациональных чисел. И между каждой последовательной парой натуральных тоже бесконечно много интервалов. Бесконечность, умноженная на бесконечность, должна быть больше, чем просто бесконечность.

Великим озарением Кантора стало то, что всё не так. Есть способ отобразить каждое натуральное число относительно положительного рационального числа таким образом, что будет видно — оба набора одинакового размера.

Положительное рациональное число имеет формуp/q, где р и q — натуральные числа. Следуя вдоль стрелок на графике, мы можем быть уверены, что каждое положительное рациональное число будет рано или поздно пронумеровано на зигзагообразном пути через плоскость (пропуская любые повторения): первое 1/1, второе 2/1, третье 1/2, четвертое 3/1, пятое 1/3, шестое 4/1, седьмое 3/2, восьмое 2/3, и так до бесконечности. Подсчитывая их, мы отображаем каждое натуральное число относительно положительного рационального. И хотя кажется, что вселенная рациональных чисел будет намного больше вселенной натуральных чисел, оказывается, что они одного размера.

Но Кантор приводит еще более странный аргумент. Используя тот же метод, можно показать, что в интервале от 0 до 1 существует столько же рациональных чисел, сколько и всех рациональных чисел.

Просто немного изменив путь, чтобы всегда оставаться ниже линии p=q, мы сможем пересчитать все рациональные числа между 0 и 1. Поскольку здесь отображение один к одному, или биективное (биекция), между натуральными и положительными рациональными числами и биекция между натуральными и рациональными числами в интервале от 0 до 1, мы знаем, что все наборы имеют одинаковый размер, или одинаковую кардинальность. Кардинальное число набора всех натуральных чисел называется алеф‑ноль, по названию буквы «алеф» в ивритском алфавите.

Алеф‑ноль заводит нашу интуицию в тупик. На графике вверху видно, что все рациональные числа между 0 и 1 занимают половину плоскости всех рациональных чисел, а остальные рациональные числа находятся на второй половине, и при этом одна половина не больше другой или всей плоскости. Разделите бесконечность пополам, и у вас все равно останется бесконечность. Превратите числовую прямую в плоскость, умножьте бесконечность на бесконечность, и все равно у вас получится бесконечность одного и того же размера.

Значит, можно утверждать, что часть способна быть такой же большой, как и целое. И что можно отобразить всю бесконечную последовательность рациональных чисел в пределах кажущегося конечным сегмента между 0 и 1. В каждой песчинке заключена Вселенная.

* * *

Одним из немногих воспоминаний Дэвида об отце стала поездка всей семьей на море. Дэвид даже не был уверен, что та поездка состоялась на самом деле, потому что был еще совсем маленьким.

Он помнил, как копал песок пластиковой лопаточкой… красной? Желтой? Ну, сейчас, когда он это вспоминал, лопатка была синей, как пиджак у женщины‑адвоката. Бетти загорала, а отец помогал ему пересыпать выкопанный песок в пластиковое ведерко.

Солнце было жарким, но не горячим. Голоса людей на пляже слились в далекое бормотание. Одна лопатка песка.

Его очаровала та гипнотизирующая плавность, с какой сыпался песок: твердые частички, текущие, как жидкость, падающие и соскальзывающие с лопатки в ведерко. Две лопатки песка.

Песчинки были мелкими, как мука, как соль. А вот интересно, сколько песчинок упало с лопатки с момента, когда он начал эту мысль, и до этого момента? Три лопатки песка. Сможет ли он разглядеть отдельные песчинки, если будет смотреть очень внимательно? Четыре лопатки песка. Он затаил дыхание.

— Считаешь? — спросил отец.

Он кивнул. Звуки и образы мира снова полились в его сознание. Он ахнул подобно пловцу, хватающему ртом воздух.

— Нужно много времени, чтобы пересчитать песчинки на этом пляже.

— Сколько?

— Больше, чем когда ты считал треугольники на моем полотенце, — сказала Бетти. Он ощутил, как рука матери, прохладная и гладкая, легонько поглаживает ему спину. Спина расслабилась. Это было приятное ощущение.

Отец посмотрел на него, и он глянул в ответ. Это был напряженный взгляд, который другие сочли бы сбивающим с толку, но отец улыбнулся:

— На это уйдет бесконечность, Дэвид.

— Что такое бесконечность?