Был ли Бог математиком?

О том, насколько серьезно воспринимали эту максиму сами пифагорейцы, можно судить по двум замечаниям Аристотеля. В компилятивном трактате «Метафизика» Аристотель пишет: «В это же время и раньше так называемые пифагорейцы, занявшись математикой, первые развили ее и, овладев ею, стали считать ее начала началами всего существующего» (здесь и далее пер. А. Кубицкого). В другом месте Аристотель живо описывает, как пифагорейцы почитали числа, и упоминает об особой роли тетрактиды: «Эврит [ученик пифагорейца Филолая] устанавливал, какое у какой вещи число (например, это вот – число человека, а это – число лошади); и так же как те, кто приводит числа к форме треугольника и четырехугольника (курсив мой. – М. Л.), он изображал при помощи камешков формы животных и растений». Выделенная фраза – «кто приводит числа к форме треугольника и четырехугольника» – отсылает и к тетрактиде, и к другому интереснейшему пифагорейскому понятию: к идее гномона.

Слово «гномон» (в сущности, «маркер») происходит от названия вавилонского астрономического устройства для определения времени, похожего на солнечные часы[10]. Похоже, что этот аппарат привез в Грецию учитель Пифагора, естествоиспытатель Анаксимандр (ок. 611–547 гг. до н. э.). Не приходится сомневаться, что геометрические представления наставника и их применение в космологии – науке о Вселенной в целом – произвели на ученика сильное впечатление. Впоследствии слово «гномон» стало обозначать и чертежный угольник, и фигуру в виде двух полос, состыкованных под прямым углом, – если приложить ее к квадрату, получится квадрат большего размера (рис. 2). Обратите внимание, что если добавить, например, к квадрату 3 × 3 семь камешков, выложенных в форме прямого угла (гномона), получится квадрат 4 × 4, состоящий из 16 камешков. Это фигурное изображение следующего свойства: в последовательности нечетных целых чисел 1, 3, 5, 7, 9,… сумма любого количества последовательных членов (начиная с 1) всегда дает квадрат. Например, 1 = 1², 1 + 3= 4 = 2², 1 + 3 + 5 = 9 = 3², 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4², 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5² и так далее. Такие тесные отношения между гномоном и квадратом, который он «обнимает», пифагорейцы считали символом познания в целом: знание «обнимает» познанное. Следовательно, по мнению пифагорейцев, числа не просто описывали физический мир, но и лежали в основе умственных и эмоциональных процессов.

Рис. 2

Квадраты целых чисел, которые ассоциируются с гномонами, вероятно, привели Пифагора и к формулировке его знаменитой теоремы. Это прославленное математическое утверждение гласит, что у любого прямоугольного треугольника площадь квадрата, достроенного на самой длинной стороне – гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, достроенных на двух других сторонах – катетах (рис. 3). Карикатуристы под псевдонимом «Франк и Эрнест» посвятили истории открытия теоремы смешную картинку (рис. 4). Как видно на рис. 2, если добавить к квадрату 4 × 4 гномон 9 = 3², получится новый квадрат 5 × 5, то есть 3² + 4² = 5². Поэтому числа 3, 4, 5 могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника. Наборы целых чисел, обладающие этим свойством (например, 5, 12, 13, поскольку 5² + 12² = 13²), называются пифагоровыми тройками.

Рис. 3

Рис. 4

Мало какие математические теоремы могут похвастаться такой «узнаваемостью», как теорема Пифагора. В 1971 году, когда республика Никарагуа выбирала «десять математических формул, изменивших облик планеты» для коллекционной серии марок, теорема Пифагора появилась на второй марке (рис. 5); на первой значилось «1 + 1 = 2»).