Был ли Бог математиком?

Представления Платона об астрономических исследованиях казались противоречивыми даже некоторым самым убежденным платоникам. Сторонники его идей утверждали, что на самом деле Платон считает не что подлинная астрономия должна заниматься какими-то идеальными небесами, не имеющими отношения к наблюдаемым, но что ее задача – изучать реальное движение небесных тел, а не искаженное, какое мы наблюдаем с Земли. Однако многие мыслители указывают, что, если понимать максиму Платона слишком буквально, это сильно затруднило бы развитие наблюдательной астрономии как науки. Впрочем, как бы мы ни толковали отношение Платона к астрономии, во всем, что касается основ математики, платонизм играет ведущую роль.

Но существует ли платоновский мир математики на самом деле? И если да, то, собственно, где? И что это за «объективно истинные» утверждения, которые населяют этот мир? Или же математики, которые придерживаются платонизма, просто выражают те же романтические представления, каких, как говорят, придерживался великий художник Возрождения Микеланджело? Согласно легенде, Микеланджело был убежден, что его великолепные скульптуры уже существуют в глубине мраморных глыб, а его задача – лишь стесать все лишнее.

Современные платоники (да-да, они есть, и их представления мы подробно опишем в следующих главах) настаивают, что платоновский мир математических форм совершенно реален, и предлагают конкретные, по их мнению, примеры объективно истинных математических утверждений, которые обитают в этом мире.

Рассмотрим следующее простое и понятное утверждение. Каждое четное целое число больше двух можно представить в виде суммы двух простых чисел (делящихся только на себя и единицу). Это несложное на первый взгляд утверждение называется проблемой Гольдбаха, поскольку именно в такой формулировке обнаружено в письме прусского математика-любителя Кристиана Гольдбаха (1690–1764) Леонарду Эйлеру от 7 июня 1742 года. Убедиться в верности этого утверждения для первых нескольких четных чисел совсем не трудно: 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 3 + 7 (или 5 + 5); 12 = 5 + 7; 14 = 3 + 11 (или 7 + 7); 16 = 5 + 11 (или 3 + 13) и так далее. Утверждение это до того просто, что британский математик Г. Г. Харди объявил, что «любой дурак мог бы догадаться». Более того, французский математик и философ Рене Декарт высказал это предположение еще до Гольдбаха. Однако выяснилось, что сформулировать проблему легко, а вот доказать – совсем другое дело. В 1966 году китайский математик Чэнь Цзинжунь сделал существенный шаг по пути к доказательству. Он сумел показать, что всякое достаточно большое четное число представляет собой сумму двух чисел, одно из которых простое, а второе имеет не более двух простых делителей. К концу 2005 года португальский ученый Томаш Оливейра э Сильва показал, что это утверждение верно для чисел, не превышающих 3 × 10¹⁷ (до трехсот тысяч триллионов). И все же, несмотря на колоссальные усилия многих талантливых математиков, на сегодняшний день, когда я пишу эти строки, общее доказательство так и не удалось найти. К желаемому результату не привел даже дополнительный стимул в виде миллиона долларов, которые предложили в виде награды всякому, кто найдет доказательство в срок с 20 марта 2000 года по 20 марта 2002 года (в рамках рекламной кампании романа А. К. Доксиадиса «Дядюшка Петрос и проблема Гольдбаха» [Doxiadis 2000]).